Формула за сума на аритметична прогресия

Нека напишем една аритметична прогресия в общ вид. Можем да започнем с някакво число а, като след това можем да продължим да прибавяме d към него. Това число, което прибавяме, което може да е положително или отрицателно, наричаме разлика на аритметичната прогресия. Следователно вторият член от прогресията ще бъде а + d. Третият член ще бъде а + 2d. Продължаваме да прибавяме d чак до n-тия член от прогресията. Вече видя тук, при първия член, че прибавихме d нула пъти. При втория член прибавихме d веднъж. При третия член го прибавихме два пъти. Така че виждаш, че какъвто е индексът на члена, прибавяме d с един по-малко пъти от този индекс. Ако стигнем чак до n-тия член, ще прибавим d (n -1) пъти. Така че ще имаме (n - 1) по d. Така. Нека го запиша. Това тук е n-тият член. Сега искам да помислим каква ще бъде сумата на тази аритметична прогресия. На английски сумата на една аритметична прогресия се нарича arithmetic series. Нека го напиша с жълто. Това не е жълто. Смяната на цветовете понякога е трудна. Arithmetic series е просто сумата на една аритметична прогресия. Нека я означим с S от n (бел. ред. – долен индекс n). Нека кажем, че това ще бъде сборът от членовете на прогресията, така че ще имаме а + а + d + а + 2d +..., като стигаме чак до n-тия член, който е а + (n - 1)d. Сега ще направя същия трик, който използвах, когато написах най-простата аритметична прогресия. Ще прибавя това към самото него, но ще сменя реда, в който пиша тази сума. Мога да напиша S с индекс n по този начин, но ще го напиша в обратен ред. Ще напиша първо последния член. n-тият член е: а + (n - 1)d. След това предпоследният член ще бъде: а + (n - 2)d Третият отзад напред ще бъде: а + (n - 3)d Като ще стигнем чак до първия член, който е само а. Нека съберем тези две уравнения. От лявата страна ще получим S с индекс n плюс S с индекс n. Ще получиш 2 по S с индекс n, и ще е равно на... Каква е сумата от първите два члена ето тук? Ще имам а + а + (n - 1)d. Това ще бъде равно на 2а + (n - 1)d. Сега нека съберем тези два втори члена. Ако събера двата втори члена, какво получавам? Ще получа 2а + 2а. Колко е d + (n - 2)d? Можеш да го намериш по няколко начина. Нека го напиша тук. Колко е d + (n - 2)d? Това е същото като 1d + (n - 2)d. Така че можеш просто да събереш коефициентите. Ще имаме (n - 2 + 1)d, което е равно на (n - 1)d. Вторият член също става 2а + (n - 1)d. Сега нека прибавим третия член. Ще го напиша със зелено. Трябваше да кажа третите членове. Мисля, че виждаш тук някакъв модел. Това е 2а, така че имаме + 2а. Ако имам (n - 3) от нещо и прибавя 2 от същото нещо, ще имам (n - 1) от това нещо. Така че + (n - 1)d. Ще продължим да правим това чак до n-тата двойка членове, чак докато не прибавиш тези два тук, което е просто 2а + (n - 1)d. Имаш това 2а + (n - 1)d, което прибавяме отново и отново. Колко пъти го правиш? Имаш n двойки членове, когато събираш тези две уравнения. Във всяко от тях имаш n на брой членове. Това е първият член, това е вторият член, това е третият член – чак до n-тия член. Следователно мога да напиша 2 по сумата – 2 по S с индекс n ще бъде n по това нещо. Ще имаме n по (2а + (n - 1)d). След това, ако искаме да намерим S от n, просто разделяме двете страни на 2. И получаваме, че S от n е равно на – като тук заслужаваме малко аплодисменти – n(2а + (n - 1)d), цялото това – върху 2. Получихме формулата просто като функция на първия член, на разликата на прогресията и това колко члена събираме. Това е сумата на една аритметична прогресия, която наричаме сума на аритметичната прогресия. Но сега нека си зададем този въпрос. Това е трудно да се запомни. n(2а + (n - 1)d)/2. Но в последното видео, когато реших един по-конкретен пример, казах, че изглежда, че сумата на една аритметична прогресия може да бъде написана може би като средното аритметично на първия член а1 плюс последния аn. Средното аритметично на първия и последния член по броя на членовете, които имаш. Дали това наистина е така? Съвпадат ли тези две неща? Тъй като това е много лесно за запомняне – средното аритметично на първия и последния член, умножено по броя на членовете, които имаш, и всъщност това е логично, защото просто увеличаваш с една и съща величина всеки път. Нека просто намерим средното аритметично на първия и последния член и след това умножим по броя на членовете, които имаме. Само трябва да преобразуваме това по някакъв начин, за да видим, че то наистина е точно същото нещо като това тук. Нека разкрием скобите тук. Нека го напиша. Това може да бъде написано като S от n е равно на n по (а + а + (n - 1)d). Просто разбих това 2а на а + а. Цялото това е върху 2. И виждаш, че въз основа на това как зададохме това нещо първоначално, първият ни член, а1, е а. След това последният член, аn, е 'а + (n - 1)d'. Това цялото нещо тук е всъщност средното аритметично на първия и последния член. Получавам първия член, прибавям го към последния и разделям на 2. След това умножавам по броя на членовете, които имам. Това важи за всяка аритметична прогресия, както току-що показахме тук.