Въведение към биномната теорема

Не е нужно дълго време, за да осъзнаем, че повдигането на двучлени на все по-големи и по-големи степени може да стане мъчително, но нека просто решим няколко, за да осъзнаем колко бързо може да стане мъчително. Ако вземем двучлена а + b – това е двучлен, понеже има два члена, така че нека повдигнем това на степен 0. Всичко, което не е 0, на степен 0 просто ще е равно на 1. Това не беше толкова зле. А какво да кажем за (а + b) на първа степен? Това ще е просто (а + b). А какво да кажем за (а + b) на квадрат? Ако нямаш практика с повдигане на двучлени на степен, може да ти се иска да кажеш, че това е а^2 + b^2, но това би било грешно. Ако направи това, трябва много леко, но не прекалено обезкуражаващо да се плеснеш през китката (или през мозъка :)). (а + b)^2 не е а^2 + b^2. Това е (a + b)(a + b). После, ако направиш това, то ще е а по а, което е а^2, плюс а по b, което е ab, плюс b по a, което е още едно ab, плюс b по b, което е b^2. Ще имаш 2 пъти ab, така че можеш да ги събереш, тоест това е равно на а^2 + 2ab + b^2. Сега нещата ще станат малко по-интересни. На колко ще е равно (а + b)^3? Окуражавам те да спреш видеото на пауза и да опиташ да решиш това самостоятелно. Знаем, че (а + b)^3 е просто (а + b)^2 по (а + b). Нека умножим това по (а + b), за да намерим на колко ще е равно. Да видим. Нека умножим това по (а + b). Ще го умножа по този начин. Първо ще умножа b по всички тези неща. Ще го направя в зелено. b по b^2 e b^3. b по 2ab e 2ab^2, и после b по а^2 е ba^2 или а^2 по b. Ще умножа b по всичко това. Нека сега умножим а по всичко това. а по b^2 e ab^2. a по 2ab e 2a^2 по b, 2a^2 по b, а после а по а^2 е а^3. Когато съберем всички тези неща, получаваме... Получаваме а^3 плюс, да видим, имаме едно а^2b плюс... плюс още две а^2b. Това ще е 3а^2b, плюс 3ab^2. 2ab^2 плюс още едно ab^2 ще е 3ab^2 плюс b^3. Просто да повдигнем нещо на трета степен, това вече ни отне доста време, така че можеш да си представиш колко мъчително може да стане да правиш нещо като (а + b)^4 или още по-зле – ако опитваш да намериш (а + b)^10 или на 20-та степен. Това ще ти отнеме цял ден или може би още по-дълго. Това ще е извънредно мъчително. Тук Нютоновият бином идва да помогне. Какво представлява Нютоновият бином? Нютоновият бином ни казва – нека запиша това – Нютонов бином. Нютоновият бином (на англ. "биномна теорема" – бел. ред.) ни казва, че ако имаме един бином, и засега ще се придържам към (а + b), ако имам... ще опитам да направя това в различни цветове. Ако имам бинома (а + b) и повдигна това на n-та степен, ще повдигна това на n-та степен, Нютоновият бином ни казва, че това ще е равно на – записът ще изглежда малко сложен отначало, но после ще решим един пример – ще е равно на сбора от k = 0, до k = n. Това n и това n са едно и също число. От – това е малко ярък цвят – от броя комбинации от n елемента k-ти клас (n над k), като ще разгледаме това след секунда; това идва от комбинаториката – (n над k) по а^(n-k), по b^k. Това изглежда малко трудно. Нека си припомним какво означава "n над k". Ако кажем "комбинация от n елемента k-ти клас", ще направя това в същите цветове, n над k, помним от комбинаториката, че това ще е равно на n факториел върху k факториел, по (n - k) факториел. Нека направя това в различни цветове, (n - k) факториел. Нека опитаме да приложим това. Нека започнем да го прилагаме към това, което започна да ни плаши – към (а + b)^4. Нека намерим колко ще е това. Нека опитаме това. Ще опитам да ги направя в различни цветове, така че да знаеш какво става. (а + b), въпреки че ми отнема малко повече време да продължавам да променям цветовете, надявам се, че си заслужава – (а + b). Нека повдигнем това на четвърта степен. Нютоновият бином ни казва, че това ще е равно на – и ще използвам точно същото обозначение – това ще е сборът при k = 0 до k = 4 от (n над k), нека направя k в този лилав цвят, (n над k) от а^(4 - k), степен (4 - k), по b^k. На колко ще е равно това? Нека просто направим сбора. Това ще е равно на... Ще започнем от k = 0, така че когато k = 0, това ще е (4 над 0), 4 над 0, по а^(4 - 0), това просто ще е а^4, по b^0. b^0 ще е равно на 1, така че можем просто да поставим 1 тук, ако искаме, или можем просто да го оставим така. Това получаваме, когато k = 0. После към това ще добавим когато k = 1. k = 1 ще е... коефициентът ще е (4 над 1) и това ще е по а^(4-1), тоест а^3, като просто ще остана с този цвят, по b^k. Сега k е 1, следователно b^1. После към това ще добавим (4 над 2) (4 над 2) по а на... сега k е 2. 4 минус 2 е 2. а^2. Мисля, че виждаш модел тук. a^4, а^3, a^2, а после по b^k. k сега е 2, тоест имаме b^2 и тук отново виждаш модел. Можеш да кажеш b^0, b^1, b^2 и тук имаме само още два члена да съберем, плюс (4 над 3), (4 над 3) по, 4 - 3 е 1, по а или а^1 и после b^3 – по (а^1)(b^3) и остана само един член, плюс (4 над 4). k сега е 4. Това сега ще е последният ни член. k преминава от 0 чак до 4, (4 над 4). а^(4 - 4), това просто ще е 1, a^0, това е просто 1, така че просто ще ни остане b^k, а b ето тук е 4. Почти сме готови. Разложихме го. Просто трябва да намерим колко са (4 над 0), (4 над 1), (4 над 2) и така нататък, и така нататък. Нека намерим това. Можем просто да приложим това отново и отново. (4 над 0) е равно на 4 факториел върху 0 факториел по (4 - 0) факториел. Това ще е отново просто 4 факториел. 0 факториел, поне за целите ни, определяме като равно на 1, така че цялото това нещо ще е равно на 1, тоест този коефициент е 1. Да видим. Нека продължим ето тук. (4 над 1) ще е 4 факториел върху 1 факториел по (4 - 1) факториел, (4 - 1) факториел, тоест 3 факториел. Колко ще е това? 1 факториел просто ще е 1. 4 факториел е 4 по 3 по 2 по 1. 3 факториел е 3 по 2 по 1. Нека изясня това. 4 по 3 по 2 по 1 върху 3 по 2 по 1 ще ни даде просто 4. Това тук ще е просто 4. После трябва да намерим колко е (4 над 2). (4 над 2) ще е 4 факториел върху 2 факториел по – колко е 4 минус... това ще е n - k, 4 - 2 е 2, тоест върху 2 факториел. На колко ще е равно това? Нека преместя малко надясно. Това ще е 4 по 3 по 2 по 1 върху 2 факториел е 2 – върху 2 по 2. Това е 2, това е 2. Като 2 по 2 е същото нещо като 4. Остава ни 3 по 2 по 1, което е равно на 6. Това е равно на 6. После, колко е (4 над 3)? Ще използвам малко пространството тук долу. (4 над 3), (4 над 3) е равно на 4 факториел върху 3 факториел по (4 - 3) факториел, така че това просто ще е 1 факториел. Вече намерихме колко е това. Това е същото като това ето тук. Просто променихме местата на 1 факториел и 3 факториел. Вече намерихме, че това ще е равно на 4. Това е равно на 4. И (4 над 4)? Това просто ще е – нека го направим ето тук – (4 над 4) е 4 факториел върху 4 факториел по 0 факториел, което е същото нещо, което имахме тук, което намерихме, че беше 1. И сме готови. Успяхме да намерим колко е (а + b)^4. Това е 1а^4 + 4(а^3)b^1 плюс 6(а^2)(b^2) + 4ab^3 плюс b^4. Нека запиша това, след като направихме всичко това. Това е равно на а^4, плюс... плюс 4(а^3)(b) плюс 6(а^2)(b^2) плюс 4 – мисля, че виждаш модел тук – плюс 4аb^3 плюс b^4 Тук има интересен модел. Има симетрия, при която имаш коефициента – той е 1, 4, 6 за средния член, после отново 4 и после отново 1. После виждаш модел, при който започваш от а^4, а^3, а^2, а и после можеш да кажеш, че тук има a^0. После започваш от b^0, което не записахме, но това е просто 1, после b^1, b^2, b^3, b^4. Това е просто едно приложение или един пример. В бъдещи видеа ще направим повече примери за Нютоновия бином и ще опитаме да разберем защо работи.