Разлагане на биноми и комбинаторика

В това видео се надявам да ти покажа логиката зад това защо биномната теорема или биномната формула включва комбинаторика. Нека помислим какво би било това разлагане. Използвам един специфичен пример, който е доста лесен, (х плюс у) на трета степен, което е (х + у) по (х + у) по (х + у). Вече знаем как изглеждат членовете, можем да вземем едно х от всяко от тези. Ако вземем точно едно х от всяко от тези, това ще е нашето х на трета степен, а не сме взели николко у, понеже избрахме по едно х от всяко от тези, когато умножихме, за да получим този член. Колко начина има за създаване на това? Колко начина има, ако избираме от 3 неща. Ако избираме от 3 неща, по колко начина можем да изберем точно 0 у, да не взимаме у? Има само един начин да направим това, само един единствен начин. Като не взимаме у от всяко от тях, или можеш да кажеш, като взимаме х от всяко от тях. Коефициентът ето тук е 1 по (х на трета). Има само един начин, когато вземеш това произведение, само един от членовете ще има х на трета степен в себе си. А какво да кажем за следващия член? Слагаме плюс. Сега ще взимаме от трите групи, но искаме да вземем 1 у. Друг начин да помислим за това е все едно имаш трима души или имаме трима души, този човек, този човек и този човек. Ще избереш един от тях за, предполагам, твой приятел, това е друг начин да кажем от кое от тези ще вземеш у? Това е същото нещо като задача по комбинаторика, от три неща избираш едно да е у. Разбира се, ако избираш 1 от 3, това е равно на 3. Ако избираш 1 у, това означава, че избираш 2 х. И взимаш произведението на всичко, така че е х на квадрат по у на степен 1, като продължаваме да следваме тази логика, така че после записваме плюс. Сега ще помислим за ситуацията, при която избираме 2 у от 3 неща. Това е х на първа степен, у на квадрат. Започваме с 3 неща и ще изберем 2 от тези у, така че могат да са това у и това у, за да направим произведението. Може да е у по у по това х или може да е у по у по това х, или може да е у по х по у. Това е изборът на 2 неща от 3 – какви са различните начини, какви са комбинациите за избиране на 2 неща от общо 3. Ако имаш трима приятели, колко комбинации можеш да използваш, за да вземеш 2 от тях в двуместната си кола, като не те интересува кой на коя седалка ще седи. Мислиш просто за това колко различни комбинации можеш да избереш от това и, отново, това се свежда до 3. И накрая – по колко различни начина от множество от 3 неща, от 3 различни неща, тоест, от всеки от тези изрази, по колко начина можеш да вземеш точно 3 у? Има само един начин за това, избираш това у, това у и това у. Ако избираш 3 у, това означава, че не взимаш николко х – 0 х. И избираш 3 у. Ето защо тук работим с комбинаторика. Избираме 3 от 3 неща. От тези 3 израза, трите бинома ето тук, от които се взима произведението, трябва да избереш 3 у, така че трябва да избереш втория член от всички от тях. Има само един начин да направиш това, тук избираш втория член, у членът, в 2 от тях, точно 2 от тях. Тук избираш у члена в точно 1 от тях, има 1 начин да направиш това, 3 начина да направиш това, тоест, тук има 3 начина да направиш това, 3 начина да направиш това, 1 начин да направиш това, 1 начин да направиш това. Това е 1, това е 3, когато изчислиш, когато приложиш формулата за избор от 3 неща и избереш k, 3 и това е 1.