Въведение към сума на членове на геометрична прогресия

Нека кажем, че имаме сума на геометрична прогресия. Тоест, нека първо имаме геометрична прогресия. Ще говорим за сумата след секунда. Да кажем, че тя започва от 1, а частното на прогресията е 1/2. Частното на прогресията е числото, по което умножаваме. 1 по 1/2 е 1/2, 1/2 по 1/2 е 1/4, 1/4 по 1/2 е 1/8, като продължаваме още и още нататък до безкрайност. Това е безкрайна геометрична прогресия. Може да го отбележим. Можем да кажем, че това е равно на прогресията 'а' с индекс n, където n може да приема стойности от 1 до безкрайност, и 'а' с индекс n е равно на 1 по частното на прогресията на степен (n - 1). Ще имаме първия член, който е просто 1, по частното, което е 1/2. 1/2 на степен (n - 1). Като можеш да го провериш. Това тук може да бъде разгледано като 1/2 на степен 0. Това е 1/2 на първа степен, това е 1/2 на квадрат. 1/2 на първа, това е 1/2 на квадрат. Първият член е 1/2 на степен 0. Вторият член е 1/2 на степен 1. Третият член е 1/2 на квадрат. n-тият член ще бъде 1/2 на степен (n - 1). Това е всъщност просто 1/2 на степен (n - 1). Напълно ясно. Нека кажем, че не искаме само да разглеждаме прогресията. Всъщност нас ни интересува сумата на прогресията. Всъщност ни интересува не само разглеждането на всеки от тези членове или какво се случва, когато продължа да умножавам по 1/2, но всъщност ме интересува сбора на 1 плюс 1/2, плюс 1/4, плюс 1/8, като продължавам нататък и нататък до безкрайност. Ще наречем това сега сума на геометрична прогресия. Тъй като продължавам да прибавям безкраен брой членове, това е сума на безкрайна геометрична прогресия. Това тук ще бъде сума на безкрайна геометрична прогресия. Това може да бъде разглеждано като сума на прогресията. Как ще го запишем? Можем да използваме означението за сумиране. Можем да кажем, че това е равно на сумата – нека се уверя, че не излизам от страницата. Само да превъртя малко наляво. Сумата от а с индекс n, при n, равно на от 1 до плюс безкрайност, като а с индекс n е просто 1/2 на степен (n - 1). 1/2 на степен (n - 1). Просто ще кажеш: "Добре, когато n е равно на 1, имаме 1/2 на степен 0, което е 1. След това ще прибавя това към n равно на 2, което е 1/2; когато n е равно на 3, имаме 1/4. И така нататък, и така нататък." Всичко, което искам да направя в това видео, е наистина да изясня разликата между прогресия и сума на прогресия, и да се запознаеш малко по-добре с означенията. В следващите няколко видеа всъщност ще се опитаме да изчислим сумите на някои геометрични прогресии и да видим дали всъщност получаваме някаква крайна стойност.