Намиране на страна със синусовата теорема

Имаме триъгълник, за който са ни дадени два от ъглите и една от страните. Твърдя, че мога да намеря всичко останало в този триъгълник само с тази информация. Дай ми два ъгъла и една страна и мога да намеря останалите две страни. Разбира се, мога да намеря и третия ъгъл. Нека опитаме да го направим. Начинът, по който ще го направим, е като използваме синусовата теорема. В следващо видео ще и докажа синусовата теорема, но тук просто ще ти покажа как можем да я прилагаме. Идеята е наистина проста. Синусовата теорема ни казва, че отношението между синус на един ъгъл и срещулежащата страна ще бъде константна величина за всеки от ъглите в триъгълника. Например за дадения триъгълник това е ъгъл от 30 градуса, това е ъгъл от 45 градуса. Сборът от ъглите трябва да бъде 180. Следователно този ъгъл трябва да бъде равен на 180 минус 45 минус 30. Това е 180 минус 75, следователно това ще бъде ъгъл от 105 градуса. Ако приложим синусовата теорема... Всъщност нека обозначим страните. Нека наречем тази страна, да я наречем страната 'а', тоест с дължина 'а'. А тази страна тук нека да е с дължина 'b'. Синусовата теорема ни казва, че отношението между синус на ъгъл и срещулежащата страна ще бъде константна величина за този триъгълник. Казва ни, че синус от този ъгъл, синус от 30 градуса, върху дължината на срещулежащата страна, ще бъде равно на синус от 105 градуса, синус от 105 градуса, върху дължината на срещулежащата страна. Което ще бъде равно на синус от 45 градуса, синус от 45 градуса, върху дължината на срещулежащата страна – на синус от 45 градуса върху 'b'. Ако искаме да намерим 'а', можем да решим това уравнение. А ако искаме да намерим 'b', можем да приравним това на ето това тук. Хайде да ги решим и двете. На колко е равен синус от 30 градуса? Може би ще си го спомниш от единичните окръжности или от триъгълниците от вида 30-60-90 и отговорът е 1/2. А ако не си го спомняш, можеш да използваш калкулатора, за да го провериш. Аз вече се уверих, че работя в градуси, така че отговорът е 0,5. Това ще бъде равно на 1/2 върху 2. Казано по друг начин, това ще бъде равно на 1/4 – тази част ще е равна на 1/4, което ще бъде синус от 105 градуса върху 'а'. Нека го запиша – това е равно на синус от 105 градуса върху 'а'. Всъщност можем също да кажем, след като можем да изчислим и двете едновременно, че това е равно на това – че 1/4 е равно на синус от 45 градуса върху 'b'. Всъщност синус от 45 градуса е от онези стойности, които веднага се виждат в единичните окръжности. Може би си спомняш, че това е корен квадратен от 2, върху 2. Нека го напиша – корен квадратен от 2, върху 2. Можем да използваме калкулатор, но ще получим някакво десетично число. Но нека да намерим 'а', а след това и 'b,' и в двете уравнения. Това, което можем да направим, е да вземем реципрочното на двете страни на уравнението. Реципрочното на 1/4 е 4. А реципрочното на това отдясно е 'а' върху синус от 105 градуса. За да намерим 'а', можем да умножим двете страни по синус от 105 градуса. Получаваме 4 по синус от 105 градуса e равно на 'а'. Да извадим калкулатора. 4 по синус от 105 градуса ни дава, приблизително e равно на – ако закръглим до най-близката стотна – на 3,86. 'а' е приблизително равно на 3,86. Приблизително 3,86. Това изглежда добре, ако това е 2 и съм определил ъглите си правилно, това прилича на 3,86. И хайде да намерим 'b'. Можем отново да вземем реципрочното на двете страни и да получим 4 е равно на 'b' върху корен квадратен от 2 върху 2. Можем да умножим двете страни по корен квадратен от 2 върху 2. Ще получим 'b', равно на 4 по корен квадратен от 2 върху 2. Корен квадратен от 2 върху 2 Ако го преобразуваме, 'b' е 4 пъти синус от 45 градуса. Да видим какво означава това. Ако искаме истинска числена стойност, можем да запишем това като два квадратни корена от 2. Да помислим какво означава това. Два квадратни корена от 2 е равно на 2,83. Следователно 'b' e приблизително равно на 2,83. За да е ясно, това 4, делено на 2, е равно на 2 квадратни корена от 2, което е 2,8. Което е приблизително равно на 2,83, ако закръглим до най-близката стотна, което също изглежда доста разумно тук. Следователно основното в синусовата теорема е, че ако имаме два ъгъла и една страна, можем да намерим всичко останало. Или, ако имаме две страни и ъгъл, също можем да намерим всичко останало в триъгълника.