If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:13

Множество от алгебричните решения на косинусово уравнение

Видео транскрипция

Целта на това видео е да намерим множеството от решенията на следното уравнение: минус 6 по косинус от 8 по х, плюс 4, равно на 5. Както винаги ти препоръчвам да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно, преди да решим задачата заедно. Само да припомня, че търсим цялото множество от решения, а не само едно от решенията. Добре, сега да решим задачата заедно. Вероятно вече забелязваш, че ще ни е полезно да отделим от едната страна косинус от 8 по х. Можем да го направим, като първо извадим 4 от двете страни, а после ни остава минус 6 по косинус от 8 по х. Извадих 4 отляво, така че това 4 изчезва, а после изваждаме 4 от 5, така че тук остава 1. Сега можем да умножим двете страни на това уравнение по минус 1/6, защото искам да имам коефициент 1 пред косинуса, и отдясно по минус 1/6. Това става 1, т.е. остава само косинус от 8 по х, равно на минус 1/6. Сега, ако продължим, можем да вземем обратната функция на косинус от минус 1/6 (аркускосинус от минус 1/6) и колкото е това, да го разделим на 8. Така ще получим решение. Сега е подходящ момент да поставиш видеото на пауза и да се увериш, че сме намерили всички решения. Искам да припомня някои тригонометрични тъждества. За да си припомним тъждествата по-лесно, искам да начертая единичната окръжност. Това е оста х, това е оста у. Това е единичната окръжност, начертана на ръка. Ще изглежда приблизително така, (ха-ха), не изглежда много добре. Сега да помислим за всички ъгли, за които стойността на косинуса е минус 1/6. Минус 1/6 е някъде тук. (чертае) Виждаш, че тук има ъгъл, който изглежда ето така – ще начертая този радиус. Знаем, че косинус от даден ъгъл е равен на координатата х на точката, в която радиусът, който е второ рамо на този ъгъл, пресича единичната окръжност. Но тук виждаме, че има още едно място, където ако вземем този ъгъл с обратен знак, можем да отидем ето тук, и получаваме същия косинус. Значи можем да вземем същия ъгъл със знак минус, в тази посока. Ето тук получаваме тъждеството, че косинуса от ъгъл минус тита е равен на косинуса от ъгъл тита. Така че, ако косинус от 8 по х е равно на минус 1/6, като използваме това тъждество, установяваме, че косинус от минус това ще е равен на минус 1/6. Ще го запиша, косинус от минус 8 по х, също ще е равно на минус 1/6. Така вече разширихме нашето множество от решения, защото това ни дава още една стойност на х, която ни дава желания резултат. Дали това е всичко? Другото нещо, което трябва да разгледаме – да кажем, че тук имаме някакъв ъгъл, и ако вземем неговия косинус, отиваме на минус 1/6. Но ако се завъртим с още 2 по пи, отиваме на същото място, където косинусът, отново, е минус 1/6. Ако още веднъж прибавим две по пи, по същество мога да добавям 2 по пи произволен брой пъти. Така че мога да представя това като косинус, вместо от само 8 по х, това става 8 по х плюс произволно цяло число по 2 по пи, което също ще е равно на минус 1/6. По същия начин, за минус 8 по х, можем да кажем косинус от минус 8 по х, плюс произволно цяло число по 2 по пи, като това цяло число трябва да е едно и също и в двата случая, това също ни дава минус 1/6. Така че сега можем да сме сигурни, че имаме всички решения, когато пресмятаме х. И в двата случая трябва да намерим стойността на обратната функция на косинус от минус 1/6, за да намерим стойността на х, да намерим стойността на обратната функция на косинус и от двете страни на уравнението. Ще получим това 8 по х, плюс 2 по пи, по някакво произволно цяло число n, равно на обратната функция на косинус от минус 1/6. Сега да пресметнем х, можем да извадим 2 по пи, по n от двете страни. Получаваме 8 по х равно на обратната функция на косинус от минус 1/6 минус 2 по пи, по n. Тук е интересно да отбележим, че този знак на члена 2 по пи, по n всъщност е без особено значение, защото n би могло да е отрицателно число. Но аз просто ще запазя тук минус 2 по пи, по n. Ако искаме да изчислим стойността на х, просто делим двете страни на 8 и получаваме х равно на 1/8, по обратната функция на косинус от минус 1/6 минус пи върху 4, по n. Сега можем да направим съвсем същото за другия случай, можем да го наречем жълтия сценарий, където ако вземем обратната функция на косинус от двете страни на уравнението, ще получим минус 8 по х, плюс 2 по пи, по n, равно на обратната функция на косинус от минус 1/6. Сега можем да извадим от двете страни пи по n, така че получавам минус 8 по х, равно на обратната функция на косинус от минус 1/6 минус 2 по пи, по n. Сега умножаваме двете страни по минус 1/8, или делим двете страни на минус 8, и получаваме х равно на минус 1/8, по обратната функция на косинус от минус 1/6 плюс пи върху 4, по n. Ще спра дотук в това видео. Намерихме по алгебричен път множеството от решенията, като това е множеството от всички решения, когато комбинираме решенията и на двата израза. В следващо видео ще го изчислим с калкулатор и ще помислим за това кои решения попадат в даден интервал.