Множество от решенията на косинусово уравнение в даден интервал

В предходното видео намерихме множеството от всички решения на следното уравнение. (подчертава го на екрана) Видяхме, че всички стойности на х, които удовлетворяват уравнението, са комбинация от тези хиксове и тези хиксове. (подчертава) Причината да използвам множествено число за х е, че за всяко цяло число n получаваме още едно решение. За всяко цяло число n получаваме още едно решение. В това видео искам да направим нещата малко по-конкретни. Това ще се случи като разгледаме всички стойности на х, които удовлетворяват това уравнение, (показва на екрана) и които се намират в затворения интервал от минус пи върху 2 до нула. Препоръчвам ти, както винаги, да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно, преди да го решим заедно. Добре, сега да решим задачата заедно. Първото полезно нещо е това, че имаме тези алгебрични изрази. Тук решенията са изразени чрез пи. Да ги изчислим приблизително като десетични числа. Даже пи върху 2 може да бъде определено приблизително. Да видим, пи е приблизително 3,14. Половината от пи е приблизително 1,57. Можем да кажем, че това е приблизително затвореният интервал от минус 1,57 до нула. минус 1,57 не е точно минус пи върху 2, но се надявам, че това е подходящо приближение за нашите цели в този пример. Сега да видим дали мога да представя различните части на този израз, или поне приблизително да ги запишем като десетични дроби. Това може да се представи като х е приблизително равно на – ако умножим 1/8 по обратната функция на косинус от минус 1/6 – препоръчвам ти да провериш това с твоя калкулатор – получаваме приблизително 0,22. После пи върху 4 е приблизително 0,785. Този израз е приблизително 0,22 минус 0,785 по n, където n може да е всяко цяло число. После това уравнение тук отдясно, ще го запиша в жълто, х е приблизително равно на – ако това е равно на приблизително 0,22, тогава това е равно на същото със знак минус, значи това е минус 0,22. После плюс това, което е приблизително равно на пи върху 4, значи 0,785 по n. Сега можем да пробваме с различни стойности за n и да видим дали започваме над или под този интервал. След това ще определим кои стойности на х попадат в този интервал. Да започнем ето тук. Ако започнем с n равно на 0... Всъщност ще направя табличка, в която ще записвам стойностите на n и х. Когато n e равно на нула, тогава този член го няма, и остава приблизително 0,22. Да сравним тази стойност с границите на интервала. Горната граница на интервала е нула. Значи тази стойност е извън дадения интервал. Тази стойност е твърде голяма в сравнение с това, които искаме да дефинираме като х, което се намира в интервала. Трябват ни по-малки стойности. Хубавото е, че тук вадим 0,785, така че ще използваме положителни стойности на n, за да намалим това 0,22. Когато n e равно на 1, от това вадим 0,785, ще закръгля тези до втория знак, и това дава минус 0,57. Тази стойност е в интервала. Това ми харесва. Това е решение, което принадлежи на този интервал. Сега да пробваме с n равно на 2. Отново изваждаме 0,785 и получаваме минус 1,35, не 25, а 35, което също се намира в интервала. Това е по-голямо от минус 1,57, така че и това ми харесва. Да извадим 0,785 отново, когато n e равно на 3, при което получаваме минус 2,14. Това вече е извън интервала, защото е под долната граница. Твърде малко е. Като използвахме този израз, ние успяхме да намерим (подчертава израза) две стойности на х, които се намират в интересуващия ни интервал. Сега ще използвам тези стойности на х ето тук и ще направя друга таблица. Значи имаме стойностите на n и стойностите на х. Да започнем с n равно на нула, защото това е лесно за смятане, тъй като този член изчезва. Получаваме минус 0,22, което по същество е в този интервал, то е по-малко от нула и по-голямо от минус 1,57, така че това става. Сега ще продължим изследването в двете посоки. Трябва да го увеличим или да го намалим. Ако искаме да го увеличим, n можеда е равно на 1. Ако n е равно на 1, трябва да добавим 0,785 към това минус 0,22. Веднага виждаме, че това дава положителна стойност, като го пресметнем, това е 0,57. Това е по-голямо от 0, т.е. е твърде голямо. Да опитаме с нещо по-малко от минус 0,22. Да вземем отрицателна стойност на n. Когато n e равно на минус 1, това означава, че вадим 0,785 от това минус 0,22, което ни дава минус 1,01. Това попада в интервала. Сега отново вадим 0,785. Имаме n равно на минус 2. Ако извадим още веднъж 0,785, получаваме приблизително минус 1,79, което е по-малко от минус 1,57. То също е извън интервала, тъй като е много малко. Всички стойности на х, които са в нашия интервал, и които удовлетворяват уравнението, са ето тези две стойности тук, (огражда ги в лявата таблица) тази стойност и тази стойност. (огражда ги в дясната таблица) И задачата е решена.