Основно съдържание
Въведение в математическия анализ
Курс: Въведение в математическия анализ > Раздел 2
Урок 7: Тригонометрични уравнения- Решаване на тригонометрични уравнения от типа sin(x)=d
- Множество от алгебричните решения на косинусово уравнение
- Множество от решенията на косинусово уравнение в даден интервал
- Множество от алгебричните решения на синусово уравнение
- Решаване на cos(θ)=1 и cos(θ)=-1
- Решаване на тригонометрични уравнения (основи)
- Решаване на тригонометрични уравнения
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Множество от решенията на косинусово уравнение в даден интервал
Дадено е множеството от алгебричните решения на косинусово уравнение. Намери кои решения попадат в даден интервал. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В предходното видео
намерихме множеството от всички решения
на следното уравнение.
(подчертава го на екрана) Видяхме, че всички стойности на х,
които удовлетворяват уравнението, са комбинация от тези хиксове
и тези хиксове.
(подчертава) Причината да използвам
множествено число за х е, че за всяко цяло число n получаваме още едно решение. За всяко цяло число n
получаваме още едно решение. В това видео искам да направим нещата
малко по-конкретни. Това ще се случи като разгледаме всички стойности на х,
които удовлетворяват това уравнение,
(показва на екрана) и които се намират в затворения
интервал от минус пи върху 2 до нула. Препоръчвам ти, както винаги, да поставиш видеото на пауза
и да опиташ самостоятелно, преди да го решим заедно. Добре, сега да решим
задачата заедно. Първото полезно нещо е това, че имаме тези алгебрични изрази. Тук решенията са изразени чрез пи. Да ги изчислим приблизително
като десетични числа. Даже пи върху 2 може
да бъде определено приблизително. Да видим, пи е
приблизително 3,14. Половината от пи е приблизително 1,57. Можем да кажем, че това е приблизително затвореният
интервал от минус 1,57 до нула. минус 1,57 не е точно минус пи върху 2, но се надявам, че това е подходящо
приближение за нашите цели в този пример. Сега да видим дали мога
да представя различните части на този израз, или поне приблизително
да ги запишем като десетични дроби. Това може да се представи като
х е приблизително равно на – ако умножим 1/8 по
обратната функция на косинус от минус 1/6 – препоръчвам ти
да провериш това с твоя калкулатор – получаваме приблизително 0,22. После пи върху 4 е
приблизително 0,785. Този израз е приблизително 0,22 минус 0,785 по n, където n може да е всяко цяло число. После това уравнение тук отдясно, ще го запиша в жълто,
х е приблизително равно на – ако това е равно на приблизително 0,22, тогава това е равно на същото
със знак минус, значи това е минус 0,22. После плюс това, което
е приблизително равно на пи върху 4, значи 0,785 по n. Сега можем да пробваме
с различни стойности за n и да видим дали започваме над
или под този интервал. След това ще определим
кои стойности на х попадат в този интервал. Да започнем ето тук. Ако започнем с n равно на 0... Всъщност ще направя табличка, в която ще записвам
стойностите на n и х. Когато n e равно на нула,
тогава този член го няма, и остава приблизително 0,22. Да сравним тази стойност
с границите на интервала. Горната граница на интервала
е нула. Значи тази стойност е извън
дадения интервал. Тази стойност е твърде голяма
в сравнение с това, които искаме да дефинираме като х,
което се намира в интервала. Трябват ни по-малки стойности. Хубавото е, че тук вадим 0,785, така че ще използваме
положителни стойности на n, за да намалим това 0,22. Когато n e равно на 1,
от това вадим 0,785, ще закръгля тези до втория знак, и това дава минус 0,57. Тази стойност е в интервала. Това ми харесва. Това е решение, което принадлежи на този интервал. Сега да пробваме с n равно на 2. Отново изваждаме 0,785 и получаваме минус 1,35, не 25, а 35, което също
се намира в интервала. Това е по-голямо от минус 1,57,
така че и това ми харесва. Да извадим 0,785 отново,
когато n e равно на 3, при което получаваме минус 2,14. Това вече е извън интервала, защото е под долната граница. Твърде малко е. Като използвахме този израз,
ние успяхме да намерим
(подчертава израза) две стойности на х, които се намират
в интересуващия ни интервал. Сега ще използвам тези
стойности на х ето тук и ще направя друга таблица. Значи имаме стойностите на n
и стойностите на х. Да започнем с n равно на нула,
защото това е лесно за смятане, тъй като този член изчезва. Получаваме минус 0,22,
което по същество е в този интервал, то е
по-малко от нула и по-голямо от минус 1,57,
така че това става. Сега ще продължим изследването
в двете посоки. Трябва да го увеличим
или да го намалим. Ако искаме да го увеличим, n можеда е равно на 1. Ако n е равно на 1, трябва
да добавим 0,785 към това минус 0,22. Веднага виждаме, че
това дава положителна стойност, като го пресметнем, това е 0,57. Това е по-голямо от 0,
т.е. е твърде голямо. Да опитаме с нещо по-малко
от минус 0,22. Да вземем отрицателна стойност на n. Когато n e равно на минус 1,
това означава, че вадим 0,785 от това минус 0,22,
което ни дава минус 1,01. Това попада в интервала. Сега отново вадим 0,785. Имаме n равно на минус 2. Ако извадим още веднъж 0,785, получаваме приблизително минус 1,79, което е по-малко от минус 1,57. То също е извън интервала, тъй като
е много малко. Всички стойности на х,
които са в нашия интервал, и които удовлетворяват уравнението,
са ето тези две стойности тук,
(огражда ги в лявата таблица) тази стойност и тази стойност.
(огражда ги в дясната таблица) И задачата е решена.