If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Множество от алгебричните решения на синусово уравнение

Решаване на синусово уравнение с безкраен брой решения. Използване на тригонометрични тъждества за представяне на множеството от решенията. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Целта на това видео е да намерим множеството от решенията на даденото уравнение. Това са всички стойности на х, като работим в радиани, които удовлетворяват това уравнение. Препоръчвам ти, както винаги, да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно да решиш задачата, след което ще я решим заедно. Добре, сега да го направим заедно. Може би логиката, която е правилна в случая, е да изразим синус от х върху 4. Първата стъпка е да извадим 11 от двете страни на уравнението. Тогава ще получим 8 по синус от х върху 4, равно на 3 – просто извадихме 11 от двете страни. За да ни остане само синус, можем да разделим двете страни на 8, получаваме синус от х върху 4 равно на 3/8. Преди да продължим, нека да помислим дали това е най-общото решение в случая, или дали така ще намерим всички решения. Да си припомним... всъщност ще начертая една единична окръжност. Това е оста х. Това е оста у. Ето я единичната окръжност. Тук имаме някакъв ъгъл тита. Знаем, че синус от този ъгъл тита е равен на координатата у на точката, в която рамото на ъгъла (радиусът) пресича единичната окръжност. Знаем също така, че ако прибавим произволен брой 2 по пи, или ако извадим произволен брой 2 по пи, ще направим пълна обиколка на окръжността и ще се върнем в началното положение, като стойността на синус от ъгъла тита ще е същата. Знаем, че синус от ъгъл тита плюс произведението на произволно цяло число по две по пи ще е равно отново синус от тита. Значи можем да направим обобщение. Можем, вместо да кажем просто, че синус от (х върху 4) е равно на 3/8, можем да кажем, че синус от х върху 4 плюс произведението на произволно цяло число по 2 по пи е равно на 3/8, като с n означаваме произволно цяло число. Може да е минус 1, минус 2, може да е, разбира се, и нула, едно, две или три и така нататък. Сега, ако изразим х, дали по този начин ще получим най-общото множество от решения? Можем да си припомним също така, че ако ъгъл тита е ето така, тогава синус от ъгъл тита отива ето тук. Има още една точка от единичната окръжност, в която стойността на синуса е същата. Тя ще бъде ето това тук. Координатата у ще бъде същата. Един начин да разсъждаваме относно това е, че ако започнем с пи радиана, което е ето това тук, (посочва на чертежа) и ако извадим ъгъл тита, ще получим същото нещо. Значи този ъгъл ето тук, (означава го със синьо) можем да го разглеждаме като ъгъл пи минус тита. Можем да направим проверка за произволна стойност на тита, дори ъгъл тита, който ни отвежда във втори квадрант, трети квадрант или четвърти квадрант, ако вземем разликата пи минус тита, тогава синус от пи минус тита ще има същата стойност. Знаем също така, че синус от пи минус тита е равно на синус от тита. Сега тук ще напиша друг израз. Значи не е само синус от х върху 4, равно на 3/8. Можем да запишем също така и синус от пи минус х върху 4, защото х върху 4 в този случай е нашият ъгъл тита. Синус от пи минус х върху 4 равно на 3/8. Можем да използваме също така и другият принцип, че ако прибавим 2 по пи, или ако извадим 2 по пи от това, ако го направим произволен брой пъти, синусът от тези ъгли отново ще е равен на 3/8. Мога да го запиша по следния начин. Синус от пи минус х върху 4, плюс произведението с произволно цяло число по две по пи, равно на 3/8. Ако решим тези две уравнения, комбинацията от тях, тяхното обединение, ще ни даде най-пълното множество от решения. Да го направим. Ето тук – сега ще взема аркуссинус (обратната функция на синус) от двете страни. Получавам х върху 4, плюс две по пи, по n, равно на аркуссинус от 3/8. Сега ще извадя от двете страни 2 по пи, по n. Получавам х върху 4 равно на аркуссинус от 3/8, минус 2 по пи, по n. (аркусинус се бележи с arcsin или като синус на степен -1, както е на екрана) Ако помислим върху това, понеже n е произволно цяло число, този синус тук пред двете, този отрицателен знак няма значение. Може даже да е положителен знак. Сега да умножим двете страни по четири. Получаваме х равно на четири по аркусинус от 3/8 минус 8 по пи, по n. Сега, ако преработя тази част тук, написана в синьо, принципът е същият, взимам аркуссинус на двете страни. Получавам пи минус х върху 4, плюс 2 по пи, по n, равно на аркуссинус от 3/8. Сега да видим – мога да извадя пи от двете страни, изваждам две по пи, по n от двете страни. Получавам минус х върху 4 равно на аркуссинус от 3/8 минус пи, минус 2 по пи, по n. Умножавам двете страни по минус 4. Получавам х равно на минус 4 по аркуссинус от 3/8 плюс 4 по пи, плюс 8 по пи, по n. Както вече казах, обединението на тези двете множества ни дава пълното множество от решенията на първоначалното уравнение.