Тригонометрична текстова задача: изчисляване на температура

В последното видео успяхме да представим модела на средната температура в Сантяго, Чили, като функция на изминалите дни от годината, където разгледахме дните след 7 януари. Следователно това тук, денят 0, всъщност е 7 януари. Но това не беше всичко. От нас се иска да отговорим колко дни след 7 януари е първият пролетен ден, когато температурата достига 20 градуса по Целзий. Предупредих те да внимаваш. Обърни внимание на цялата тази идея за първия пролетен ден. Причината е, че всъщност има два дни, през които температурата достига 20 градуса по Целзий. Да приемем, че това е 20 градуса по Целзий ето тук. Обърни внимание – имаме този ден и после имаме този ден ето тук. Кой от тях е през пролетта или първият пролетен ден? Ако това е... Тук сме в летния сезон. Намираме се в Южното полукълбо, следователно лятото ще бъде по времето, когато в Северното полукълбо е зима. Лято... Кой сезон идва след лятото? Това ще бъде есента, това ще бъде зимата, а това ще бъде пролетта. Разбира се, след това отново е лято. Следователно ни трябва тази стойност, а не тази. Това ще бъде денят от есента, когато средната температура е 20 градуса по Целзий. Това е първият ден от пролетта, когато средната температура е 20 градуса по Целзий. Първият пролетен ден. Може би не задължително първият пролетен ден, но е първият ден от пролетта, когато температурата достига 20 градуса по Целзий. Това тук се случва през пролетта, следователно това е стойността, която търсим. Нека да помислим върху това. Да се опитаме да поработим с този израз. Искаме да получим 20 градуса по Целзий, следователно можем да запишем 20 е равно на 7,5 по косинус от (2π/365 по дните (d)), плюс 21,5. Можем да извадим 21,5 и от двете страни и получаваме -1,5 е равно на – просто ще копирам и поставя цялото това – ще бъде равно на това. Просто копирам и поставям. Ще бъде равно ето на това тук. Сега мога да разделя двете страни на 7,5. Обърни внимание, опитваме се да намерим косинус и после да намерим d, но тук ще спрем за малко. Вече сме получили това по отношение на косинус. Да внимаваме тук. Ще разделим и двете страни на 7,5. И ще получим, да видим... Всъщност дори не ми трябва калкулатор... 1,5 делено на 7,5 – това е 1/5. 5 по 15 или 5 по 1,5 е 7,5, следователно това е -1/5. Или мога да го запиша като -0,2 е равно на косинус от (2π/365 по дните след 7 януари). Тук е мястото, където трябва да сме много внимателни. Вместо сляпо да приложим функцията аркускосинус, трябва да проверим кой ъгъл получаваме всъщност. Това тук е правият ъгъл. Спомни си, търсим аргумента на косинус, който ни дава не тази точка тук, а тази тук, която отговаря на ето тази точка. Нека начертаем единична окръжност, за да сме сигурни, че разбираме какво се случва. Винаги правя това, особено когато се опитвам да използвам обратните тригонометрични функции в някакъв приложен контекст, когато не мога просто да ги въведа в калкулатора. Нека начертая една единична окръжност тук. Оста х, оста у... Окръжност с радиус 1, с център в началната точка. Разбираш за какво става дума. Правили сме го много пъти. И 7 януари, който отговаря на ето тази точка тук. Ето тази точка тук, когато е лято. След това, докато дните отминават, аргументът на косинус се увеличава, ъгълът се увеличава, и това тук е вече есента. Следователно в тази точка вече е есен. След това отиваме към зимата, ето тук. И накрая стигаме до пролетта. Това тук е пролетта. Трябва ни ъгъла, който ни дава стойност -0,2. Това е -1. -0,2 е 1/5 от това разстояние. Това е -0,2 и, обърни внимание, два ъгъла ни дават тази стойност. Това е този ъгъл ето тук. И също – ще начертая тук прекъсната линия – ето този ъгъл. Но имаме и този ъгъл, който е още по-далеч. Или, казано с други думи, можем да стигнем до този ъгъл и в обратна посока. А ако искаме да изминем целия цикъл до следващата пролет, можем да прибавим 2π. Кой от двата ъгъла избираме? Разбира се, този в квадранта на пролетта. Но ако сляпо приложим аркускосинус от -0,2, ще получим този ъгъл. Можем да и го докажем. Аркускосинус от -0,2 е 1,77. Запомни, това е 0, това тук е π – тоест 3,14159, а това е 1,77. Обърни внимание, че това е малко повече от половината на π, което е точно този ъгъл ето тук. Следователно това е приблизително 1,77 радиана – този ъгъл ето тук. Но на нас не ни трябва този, трябва ни този. Как да го намерим? Можем да го разгледаме като... Можем да изминем целия цикъл до 2π и после да извадим 1,77. Следователно можем да кажем: 2π минус 1,77, за да получим този ъгъл. Хайде да го направим. Да вземем 2π и да извадим после това число. Получавам същия отговор като първия път, значи точността ми е добра. Получавам 4,511 и можем да твърдим, че търсим точно това, защото то ще бъде между π и 2π. 2π е 2 по 3,14159, което ще е равно приблизително на 6,28. Това е 3,14159, това е правилният ъгъл. Все още не сме свършили. Това е само ъгълът – аргументът, който ни трябва, за да стигнем до тази точка. Но колко ще бъдат дните? 2π върху 365 дни ще бъде равно на това число – 4,511. Нека да го запиша. Следователно това тук ще бъде приблизително равно на 4,511. Слизаме малко надолу. Можем да кажем, че 2π върху 365 по дните след 7 януари, ще бъде приблизително равно на 4,511. За да намерим дните, можем просто да умножим двете страни по реципрочното на коефициента – т.е. ще умножим двете страни по 365 върху 2π. Това ще се съкрати и вече можем да използваме калкулатора за това. Закръглянето тук е доста по-точно. Да вземем предишния ни отговор, по 365 – заслужаваме поздравления – делено на 2π, и получаваме 262 дни след 7 януари, ако закръглим до най-близкия ден. Имаме 262 дни и сме готови.