Тъждества за тангенс: периодичност

Един ъгъл, чийто тангенс е 1/2 е равен на 0,46 радиана. Твърдим, че тангенс тук е... Тангенс... Ще го запишем. Твърдим, че тангенс от 0,46 радиана е равен на 1/2. Казано по друг начин, тангенс на един ъгъл е наклонът на горното рамо на този ъгъл. Това е наклонът на този лъч ето тук. Да, този наклон наистина изглежда като да е равен на 1/2. А кои други ъгли имат тангенс от 1/2? Да видим вариантите. Това е нашият първоначален ъгъл, 0,46 радиана, плюс π върху 2. Ако мислим в градуси, π е равно на 180. π върху 2 е 90 градуса. Следователно, това... Всъщност, нека да го оцветя така, за да го виждаш по-добре. Това ще изглежда ето така. Това ще бъде ъгъл π върху 2. Веднага се вижда, че наклонът на този лъч е доста различен от наклона на този лъч. Всъщност, те са си различни. Лъчите са перпендикулярни, защото ъгълът между тях е π върху 2. Но определено тангенсът на ъглите няма да е еднакъв. Защото не отговарят на един и същ наклон. Да разгледаме π минус 0,46. Това е π, което е целият ъгъл по дължината на оста х. Изминаваме цялото това разстояние или половината от окръжността до π радиана. Но след това ще извадим 0,46. Ще изглежда горе-долу така. Ще изглежда горе-долу така – това е 0.46, което извадихме. Казано по друг начин, ако вземем първоначалното горно рамо и го прехвърлим през оста у, стигаме до това горно рамо ето тук. И веднага се вижда, че наклонът на това горно рамо не е същият като наклона на това – на първото, първоначалното. Те всъщност изглеждат като взаимни противоположности. Следователно, можем да изключим и това. 0.46 плюс π или π плюс 0,46. Това ще ни отведе... Ако добавим към това π, всъщност изминаваме половината разстояние по окръжността. Стигаме до точка, която... Или получаваме лъч, който е колинеарен на първоначалния. Това е този ъгъл ето тук. π плюс 0,46 е мярката на целия ъгъл тук. А като погледнем този лъч, виждаме, че колинеарният ще има точно същия наклон като горното рамо на ъгъла от 0,46 радиана. Дори само това подсказва, че тангенсът ще е същият. Мога да го проверя. В предишни видеа, когато разглеждахме симетриите на функцията тангенс, ние всъщност видяхме, че, ако вземем един ъгъл и прибавим π; ще имаме същия тангенс. Ако искаш да се задълбочиш повече, те съветвам да прегледаш видеото за симетриите в единичната окръжност за тангенс. Да разгледаме другите варианти. 2π минус 0,46. 2π... Ако това е 0 градуса, 2π ни връща обратно към положителната ос х и тогава трябва да извадим 0,46. Това ще бъде този ъгъл ето тук. Изглежда, че наклонът е отрицателен спрямо първоначалния лъч тук горе. Следователно, тангенсите тук няма да са еднакви. А сега това... Взимаме ъгъла 0,46 и прибавяме 2π. Ако вземем 0,46 и прибавим 2π, всъщност изминаваме една обиколка на окръжността и се връщаме в точно същата точка. Ако прибавим 2π към която и да е мярка на ъгъл, не само ще имаме същата стойност на тангенс, но и същите стойности на синус и косинус, защото всъщност ще връщаме обратно към същия ъгъл – когато прибавим 2π. Следователно, това също определено ще бъде вярно.