Текстова задача с вектори: сумарна сила

Дадено е, че едно метално топче лежи на плоска хоризонтална повърхност. То се привлича от два магнита, разположени до него. Силата, с която първият магнит привлича топчето, е 5 нютона. Силата, с която вторият магнит привлича топчето, е 3 нютона и с посока, която е на 100 градуса спрямо силата на първия магнит. Ето чертеж на тази ситуация. Това е силата на привличане на първия магнит – 5 нютона. (синият вектор) Това е силата на привличане на втория магнит – 3 нютона, (червеният вектор) с ъгъл 100 градуса спрямо силата на привличане на първия магнит. След това ни задават няколко интересни въпроса. "Каква е общата сила, с която магнитите привличат топчето?" След това ни питат: "Каква е посоката на общата сила на привличане от магнитите спрямо посоката на силата на привличане на първия магнит?" Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да опиташ да отговориш самостоятелно, след което ще отговорим заедно на въпросите. Добре, сега да решим задачата заедно. По същество ни питат, ако намерим сбора на тези два вектора на силите, какъв ще бъде векторът на сумарната сила? Колко ще е дължината на получения вектор на сумарната сила на привличане? Каква ще бъде посоката на този вектор? Има два начина да подходим към задачата. Можем да представим всеки от двата вектора с техните съответни компоненти, а после да съберем съответните компоненти, след което да изчислим дължината и посоката на вектора на сбора. Правили сме го вече в други видео уроци. Можем да използваме и геометричния метод. Сега избирам него. За да си помогнем, ще използваме т.нар. правило на успоредника, което е съвсем същото нещо като събиране на вектори начало към край. Мога да взема вектора 3нютона и да го преместя ето тук, така че неговото начало да съвпадне с края на вектора 5 нютона. Ще се получи нещо такова. Значи това тук е векторът от 3 нютона. После мога да го направя по другия начин. Мога да взема първо вектора 3 нютона, да поставя началото на вектора 5 нютона в края на вектора 3 нютона и да го изместя ето така. Мога да събера двата вектора във всяка посока, като и по двата начина, когато започваме от началото на първия вектор и отидем в края на втория вектор, ще получим сумарната сила, чийто вектор изглежда ето така, което е диагоналът на този успоредник. Ето така. Ще означа това като нашия вектор на силата. Ако намерим дължината на тази отсечка, на този диагонал ето тук, това е дължината на вектора на силата. Как можем да я пресметнем? Да разгледаме нещата от геометрична гледна точка – какво друго можем да намерим тук? Това е успоредник. Ако този ъгъл ето тук е 100 градуса, тогава и този ъгъл тук ще бъде 100 градуса. (означава го на чертежа) Знаем също така, че тези два срещулежащи ъгли (означава ги с две дъгички) също ще имат равни мерки. Знаем също така, че сборът на всички ъгли в един четириъгълник е равен на 360 градуса. Сборът на тези ъгли е 200 градуса, (ъглите с една дъгичка) остават ни 160 градуса, които можем да разделим на две, за да намерим мерките на този ъгъл и на този ъгъл. (ъглите с две дъгички) Знаем, че този ъгъл е 80 градуса, знаем също, че и този ъгъл е 80 градуса. С какво ни е полезно това? Знаем дължините на тези две кафяви страни, знаем дължината на тази страна ето тук. Знаем ъгъла между тях, и сега искаме да намерим дължината на страната, която е срещу този ъгъл, срещу ъгъла 80 градуса. Може би си спомняш косинусовата теорема. Аз винаги си представям косинусовата теорема като вариант на питагоровата теорема, който се използва за триъгълници без прав ъгъл. Косинусовата теорема гласи, че дължината – ще го запиша ето тук – дължината на този вектор F, което е дължината на този диагонал, е равна на корен квадратен от – взимаме дължината на тази страна, повдигната на квадрат, записвам 3 на квадрат, плюс дължината на тази страна, повдигната на квадрат, значи плюс 5 на квадрат, минус 2 по тази страна. Значи по 3, после по дължината на тази страна, по косинуса на ъгъла между двете страни Става по 5, по косинус от 80 градуса. Сега ще използвам калкулатор, за да го пресметна. Първо въвеждам косинус от 80 градуса, после го умножавам по това произведение, което е 30. Значи по 30. Получаваме това. (посочва резултата) Тук ще поставя знак минус. После към това прибавям 25 и 9, което дава 34. Значи плюс 34 и дава равно на това. (посочва резултата на екрана) Сега само трябва да коренувам този резултат. Казват ни да закръглим отговора си до първия знак след запетаята. Значи това е приблизително 5,4. Приблизително 5,4 нютона. След това ни питат каква е посоката, с която двата магнита привличат топчето, спрямо посоката на силата на първия магнит. Тук от нас се иска да намерим колко е този ъгъл ето тук. (означава го на чертежа) Ще го означа като тита. Знаем дължината на страната срещу този ъгъл. Можем да използваме синусовата теорема. Синусовата теорема гласи, че синус от ъгъл тита върху дължината на срещулежащата страна е равно на – ще избера друга буква за ъгъла, на синус от този ъгъл. Синус от 80 градуса, върху дължината на срещулежащата му страна. Това е приблизително 5,4. За да изчислим ъгъл тита, можем да умножим двете страни по 3. Получаваме, че синус от тита – ще продължа с този пурпурен цвят за простота – е равен на 3 по синус от 80 градуса, делено на 5,4. След това можем да кажем, че тита е равен на аркуссинус (обратната функция на синус) от всичко това тук. 3 по синус от 80 градуса, върху 5,4. Въвеждаме в калкулатора 80 градуса, намираме синус от тях, след това умножаваме по 3, делим полученото на 5,4 и е равно на това – след това намираме аркуссинус от всичко това. Казано е да закръглим до цяло число. Значи ъгълът е приблизително 33 градуса. Когато използваме синусовата теорема, е възможно да сме получили и тъп ъгъл. Когато пресметнем всичко това, получаваме остър ъгъл, а след това можем да направим корекция. Но в този случай не е необходимо, така че знаем, че ъгъл тита е равен приблизително на 33 градуса. Така изчислихме големината на силата, както и знаем, че тя образува ъгъл от приблизително 33 градуса с посоката на силата на привличане на първия магнит.