If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Текстова задача с вектори: крайна скорост

Когато даден обект, да кажем кораб, плава с определена скорост и ако той плава по река, например, чието течение има собствена скорост, можем да намерим крайната скорост на кораба като сбор от двете скорости. В този пример намираме сумарния вектор за кораб. Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

"Една лодка се движи със скорост 26 километра в час в посока 300 градуса спрямо посоката изток. В някакъв момент лодката се натъква на течение, което има скорост 15 километра в час и посока 25 градуса спрямо посоката изток. Отговори на двата въпроса относно скоростта на лодката след попадането ѝ в течението." Добре, първият въпрос към нас е какво е скоростта на лодката след като попадне в течението. Казват ни още да закръглим отговора до десетите. Междинните стойности можем да закръглим до стотните. "Каква е посоката на вектора на скоростта на лодката след попадането ѝ в течението?" И казват същото нещо... всъщност тук ни казват да закръглим отговора си до цяло число, а междинните резултати можем да закръглим до стотните. Препоръчвам ти, както винаги, да поставиш видеото на пауза и да видиш дали можеш да решиш задачата самостоятелно. Сега да решим задачата заедно. Първо да начертаем всеки един от векторите. Имаме вектор с дължина 26 км/ч и посока 300 градуса спрямо посоката изток. После имаме този вектор с дължина 15 км/ч и посока 25 градуса спрямо изток. Ще начертая осите на една координатна система. Това е оста у. После това е оста х. Първият вектор има посока 300 градуса спрямо изток, а изток е положителната част на оста х. Това са 90 градуса, 180 градуса, 270 градуса. Движим се обратно на часовниковата стрелка, защото така е прието, когато ъгълът е положителен. След това отиваме още малко след 270, и попадаме точно ето тук. (чертае) Дължината на този вектор е 26 километра в час. Ще напиша само 26. Другият вектор – векторът на течението, е с дължина 15 км/ч и посока, която е 25 градуса спрямо посоката изток. 25 градуса спрямо изток е нещо ето такова, (чертае със синьо) като този вектор е по-къс. Това са 15 км/ч. Значи дължината му е приблизително толкова. Това, очевидно, е приблизително, и тук ще напиша 15, което е дължината на този вектор. Сега да представим скоростта на лодката и посоката ѝ след като се натъкне на течението. Това е сборът на тези два вектора. Ако искаме да съберем тези два вектора, можем да поставим началото на единия към края на другия. Ще преместя този син вектор ето тук, където е краят на червения вектор. Ще изглежда приблизително така. Получената скорост на лодката след попадането в течението изглежда като нещо подобно. Виждали сме това в много други видеа досега, но сега не искаме да определим това само графично. Ние трябва да пресметнем действителната скорост, което е дължината на този вектор, както и да определим неговата посока. Колко е ъгълът? Можем да кажем, че този ъгъл е положителен. Колко е завъртането, положителното завъртане от положителната част на оста х или от посоката изток? За да го определим, ще представя двата първоначални вектора чрез техните компоненти. Този червен вектор ето тук – правили сме това много пъти, когато разглеждахме логиката. Неговият х-компонент е дължината – 26, по косинус от този ъгъл, по косинус от 300 градуса. у-компонентът е 26 по синус от 300 градуса. Ако това ти е непознато, ти препоръчвам да гледаш отново другите видеа, в които въвеждаме понятието компоненти на вектора, което следва директно от дефиницията на тригонометричните функции в единичната окръжност. По същия начин, този вектор ето тук, неговият х-компонент е дължината му по косинус от 25 градуса. Неговият компонент у е 15 по синус от 25 градуса. Сега, след като изразихме векторите по този начин, ако искаме да намерим вектора, който се получава, нека да го означим като вектор s, защото е получената скорост (от speed = скорост на англ.) Компонентите му ще бъдат равни на сбора на компонентите на двата вектора. Ще го запиша ето тук. Вектор s ще е равен на х-компонента на червения вектор, вектора на първоначалната скорост на лодката – значи това е 26 по косинус от 300 градуса, плюс х-компонента на вектора на скоростта на течението – 15 по косинус от 25 градуса. След това събираме у-компонентите. Отново – събирам съответните компоненти у – 26 по синус от 300 градуса, плюс 15 по синус от 25 градуса. Сега можем да използваме калкулатор, за да пресметнем колко е това, или приблизително колко е това. Първият компонент х – взимаме косинус от 300 градуса, умножаваме по 26, плюс – сега отварям скоба. Взимаме косинус от 25 градуса, умножаваме по 15, затварям скобите. Това е равно на 26,59, ако закръглим до втория знак. 26,59. Сега да пресметнем компонента у. Имаме синус от 300 градуса, по 26, плюс – отварям скоби – синус от 25 градуса, по 15, затварям скобите, това е равно на минус 16,18, когато закръглим до втория знак. Минус 16,18. Само да проверим дали тези резултати са логични. Значи 26,59. Отиваме напред в тази посока, 26,59 в посока х. След това се преместваме с минус 16,18 в посока у. Това съвпада с нашата логика, когато разглеждаме примера графично. Така получихме компонентите х и у на получения вектор, но в задачата не се търси това. Питат ни колко е скоростта, което означава дължината на този вектор ето тук. Ще запиша дължината на този вектор, което е сумарната скорост – сега просто ще използвам питагоровата теорема. Това е корен квадратен от тази стойност на квадрат плюс тази стойност на квадрат, защото, повтарям отново – тук се образува правоъгълен триъгълник. Разглеждали сме го в други видео уроци. Това е равно на корен квадратен от 26,59 на квадрат, плюс, минус 16,18 на квадрат, което е приблизително равно на – казват ни да закръглим до десетите – 26,59 на квадрат плюс... Този минус тук е без значение, защото повдигаме на квадрат. Затова ще напиша просто 16,18 на квадрат, равно е на това. (показва резултата на екрана) Сега ще намерим корен квадратен от този резултат. Получаваме 31 цяло – закръгляваме до десетите – получаваме 31,1. Значи това е приблизително 31,1, като ще добавя мерните единици – километри в час, което е скоростта на лодката, след като попада в течението. Да видим сега втория въпрос – каква е посоката на вектора на скоростта на лодката след като попадне в течението? Един начин да разсъждаваме е като вземем този ъгъл ето тук, (показва на чертежа) който ще ни даде посоката – тангенсът от този ъгъл тита – ще го запиша ето тук. Тангенс от ъгъл тита. Знаем, че тангенсът е промяната на у върху промяната на х. Можеш даже да си го представиш като наклона на този вектор ето тук. Знаем колко е промяната на х и на у. Това са компонентите х и у. Значи става промяната на у, която е минус 16,18, върху 26,59, което е промяната на х. За да намерим ъгъл тита, можем да кажем, че ъгъл тита е равен на аркустангенс (обратната функция на тангенс). Трябва да помислим малко върху това, защото това може да не ни даде точната стойност на тита, която търсим, защото обратната функция на функцията тангенс ще ни даде резултат между плюс 90 градуса и минус 90 градуса. Но изглежда, че ъгълът, който търсим, е между 270 и 360 градуса, защото правим положително завъртане, а не отрицателно завъртане. Но хайде да го изчислим. Аркустангенс от това – тангенс от минус 16,18 върху 26,59... 16,18 със знак минус, делено на 26,59 ни дава това. (посочва резултата на екрана) Сега ще намеря аркустангенс от тази стойност. (на калкулатора се изписва като tan на степен –1) Така получаваме минус 31 градуса, което е логично. Това изглежда логично, защото ако се завъртим по посока на часовниковата стрелка, което е отрицателен ъгъл спрямо положителната част на оста х, това съвпада с начертаното от нас, но все пак нека да използваме общоприетия начин за случая. Да опитаме с положителен ъгъл. Можем да добавим 360 градуса към тази стойност, за да направим една пълна обиколка. Така получаваме еквивалентен ъгъл. Да добавим 360 градуса към това, което ни довежда ето тук. Ако закръглим до цяло число, получаваме приблизително 329 градуса. Значи ъгъл тита е приблизително 329 градуса. Когато казвам, че ъгъл тита е равен това, мога да запиша, че това е равно на това плюс 360 градуса. Интересното тук е, че като прибавя 360 градуса, идвам на съвсем същото място. Ако имахме ситуация, в която ъгълът ни беше този ъгъл ето тук, а не случаят, който имаме сега, ако се намирахме във втори квадрант, щяхме да получим този ъгъл тита. И тогава щяхме да разберем, че ако се намираме във втори квадрат, това е със същия наклон. Вместо да добавим 360 градуса, щяхме да добавим 180 градуса. Това също сме го разглеждали в други видео уроци.