Нека решим още една задача от раздела
за нормално разпределение от учебника по статистика AP на ck12.org. Използвам техните материали,
защото това е свободен източник и е доста добър учебник. Мисля, че тези задачи
са добро упражнение за нас. Да видим задача 3. Можеш да посетиш сайта им, и мисля, че можеш
да си изтеглиш учебника. Да допуснем, че теглото на 1-годишните
момичета в Съединените щати е нормално разпределено
и има медиана около 9,5 грама... Това трябва да са килограми! Имам 10-месечен син, който
тежи около 20 фунта, което са около 9 килограма,
а не 9,5 грама. 9,5 грама са нищо. Все едно говорим за мишка. Това трябва да са килограми. Както и да е, около 9,5 килограма, със стандартно отклонение
от около 1,1 грама. Значи медианата е равна на
9,5 килограма, предполагам, и стандартното отклонение
е равно на 1,1 грама. Без да използваш калкулатор –
това е интересна подсказка – намери процента на 1-годишните
момичета в Съединените щати, които отговарят на следните условия... Когато ни казват, че трябва
да намерим приблизителен отговор без калкулатор, това е голяма
подсказка, че трябва да използваме емпиричното правило. Емпиричното правило се нарича
също правилото 68-95-99,7. И ако запомниш, че това е
името на правилото, вече си запомнил/а и самото правило. То ни казва, че ако имаме
нормално разпределение – тук ще преговоря малко, преди да започнем да решаваме. Ако имаме нормално разпределение – ще начертая нормално разпределение. То изглежда така. Това ми е нормалното разпределение. Не го направих идеално,
но разбираш за какво говоря. Трябва да е симетрично. Това тук ни е медианата. Това е медианата. Сега отиваме с едно стандартно отклонение
над и с едно стандартно отклонение под медианата,
значи това ни е медианата плюс
едно стандартно отклонение. Това ни е медианата минус
едно стандартно отклонение. Вероятността да намерим отговор,
ако работим с идеално нормално разпределение,
който е между едно стандартно отклонение под медианата и едно
стандартно отклонение над медианата – това е ето тази площ – ще е 68%. Имаме 68% шанс да открием
нещо в рамките на едно стандартно отклонение
от медианата. Едно стандартно отклонение
под или над медианата, или където и да е между
тези две точки. Сега, ако говорим за две стандартни
отклонения от медианата... Тоест, ако се преместим
с още едно стандартно отклонение в едната
или другата посока... ако си зададем въпроса
каква е вероятността да намерим нещо в този интервал,
можем да познаем, че става въпрос за 95%. И това включва и площта
по средата. Тези 68% са част от 95-те %. Мисля, че разбираш какво става. Ако отидем три стандартни
отклонения под медианата и над медианата, емпиричното правило
или правилото 68-95-99,7 ни казва, че има вероятност
99,7% да намерим резултат в нормално разпределение, който
е в рамките на три стандартни отклонения от медианата. Над три стандартни отклонения
под медианата и под три стандартни отклонения
над медианата. Това ни казва емпиричното правило. Да видим дали можем
да приложим това към задачата ни. Дали са ни медианата
и стандартното отклонение. Нека начертая това. Ще начертая оста първо,
възможно най-добре. Това ми е оста. Чертая камбановидната крива. Това е възможно най-хубавата крива, която може да се направи на ръка. И медианата тук е 9, това
трябва да е симетрично. Тази височина трябва
да е същата като тази. Мисля, че разбираш – аз не съм компютър. Медианата е 9,5. Няма да записвам
мерните единици. Всичко е в килограми. Едно стандартно отклонение
над медианата ще добави 1,1 към това, защото ни казват,
че стандартното отклонение е 1,1. Това ще бъде 10,6. Нека направя една
пунктирана линия. Ако отидем с 1 стандартно отклонение
под медианата, ще извадим 1,1 от 9,5 и това ще стане 8,4. Ако отидем с две стандартни
отклонения над медианата, ще добавим още едно
стандартно отклонение тук. Нали? Преместихме се с 1, 2 стандартни отклонения. Тогава ще достигнем 11,7. И ако се преместим с
3 стандартни отклонения, пак ще добавим 1,1. И ще сме на 12,8. Ще го направя от другата страна,
едно стандартно отклонение под медианата е 8,4. Две стандартни отклонения
под медианата – вадим 1,1 пак и получаваме 7,3. И после – три стандартни
отклонения под медианата – ще запишем тук 6,2 килограма. Това ни е подготовката
за задачата. Търсим каква е вероятността
да намерим 1-годишно момиче в Съединените щати, което тежи
по-малко от 8,4 килограма. Или, по-добре да кажа,
чиято маса ще е по-малка от 8,4 килограма. Ако погледнем тук,
вероятността да намерим 1-годишно момиченце с маса по-малко от 8,4 килограма
е ето тази площ тук. Казах маса, защото килограмите всъщност
са единица за измерване на маса. Повечето хора я използват
и за тегло. Така, ето тази площ. Как можем да намерим
тази площ под това нормално разпределение,
като използваме емпиричното правило? Ние знаем колко
е тази площ. Знаем, че площта между минус едно
стандартно отклонение и плюс едно стандартно
отклонение е 68%. И ако това е 68%, това означава,
че частите, които не са в средната площ, са по 32%. Защото площта под цялото
нормално разпределение е 100% – или 1, зависи
как го разглеждаш. Сборът от всички вероятности
винаги е 1. Не може да имаме повече
от 100% тук. Ако съберем тази и тази част, ще получим остатъка. Така 100 минус 68 прави 32. 32%. 32% – това се получава,
като съберем лявата и дясната част тук. И това е идеално нормално
разпределение. Казаха ни, че имаме
нормално разпределение. Значи симетрията е идеална. Ако сборът на тази част
и на тази част е 32 и те са симетрични, тоест имат
еднаква площ, тогава тази част тук –
ще я направя в розово... повече прилича на лилаво –
ще е 16%. И ето тази част ще е 16%. Значи вероятността да получим резултат,
по-голям от едно стандартно отклонение над медианата –
ето тази, дясна част, ще бъде 16%. Или, вероятността да получим резултат,
който е с по-малко от едно стандартно отклонение
под медианата, ето тук, е 16%. Търсим вероятността
да имаме 1-годишно момиче, което тежи по-малко
от 8,4 килограма. По-малко от 8,4 килограма –
това е площта ето тук. И това са 16%. Имаме 16% за подточка а). Да решим и част b:
между 7,3 и 11,7 килограма. Така, между 7,3 – това е ето тук. Това са две стандартни
отклонения под медианата. И 11,7 – едно, две стандартни
отклонения над медианата. Значи всъщност ни питат
каква е вероятността да получим резултат, който е
до две стандартни отклонения от медианата, нали? Това ни е медианата. Това са две стандартни
отклонения под нея. А това са две стандартни
отклонения над нея. Това е доста ясно. Емпиричното правило ни казва, че
между две стандартни отклонения имаме шанс 95%
да получим резултат, който е в рамките на две
стандартни отклонения. Значи емпиричното правило само по себе си
ни дава този отговор. И накрая, да решим подточка с:
Каква е вероятността да имаме 1-годишно момиче, което тежи
повече от 12,8 килограма? 12,8 килограма са
три стандартни отклонения над медианата. Значи търсим вероятността
да имаме резултат, който е повече от три
отклонения над медианата. Това е ето тази отдалечена площ,
която направих в оранжево. Може би трябва
да я направя в друг цвят, за повече контраст. Става въпрос за тази
мъничка площ тук. Каква е тази вероятност? Нека се върнем към
емпиричното ни правило. Знаем вероятността –
знаем тази площ. Това е площта между минус три
стандартни отклонения и плюс три стандартни отклонения. Това ни е последната задача,
така че мога да оцветя всичко –
знаем, че площта между минус 3 и плюс 3 е 99,7%. Знаем, че почти всички резултати попадат в тази площ,
макар и не всички. Значи какво ни е останало
за двете опашки? Запомни, че имаме две опашки. Това е едната от тях. После имаме резултатите, които
са на по-малко от три стандартни отклонения
под медианата. Ето тази опашка. Това означава, че по-малко от
3 стандартни отклонения под медианата и повече от
3 стандартни отклонения над медианата, взети заедно,
дават остатъка. А за остатъка имаме само 0,3%. Тези две неща са симетрични. Значи са еднакви. Значи това трябва да е
половината на това или 0,15%, и това тyк също е 0,15%. Значи вероятността да имаме
1-годишно момиче в Съединените щати, което тежи повече от
12,8 килограма, при идеално нормално разпределение,
е площта под тази крива, площта, която е на повече от
три стандартни отклонения под медианата. И това са 0,15%. Надявам се тази задача
да ти е била полезна.