Правило за събиране на вероятности

Да кажем, че имам торба и в нея ще сложа зелени кубчета. Ще сложа точно 8 зелени кубчета. Ще сложа и няколко сфери в торбата. Да кажем, че ще сложа 9 зелени сфери. Ще сложа и жълти кубчета в торбата. Да кажем, че са 5 жълти кубчета. Ще сложа и няколко жълти сфери в тази торба. Жълти сфери. Да кажем, че слагам 7 такива. Слагам всичко в торбата. После ще разклатя торбата, ще извадя предметите и ще видя какъв е първият предмет, който ще извадя от торбата. В този клип искам да помислим: какви са вероятностите да получим различните видове предмети? Например – каква е вероятността да получим куб? Куб от какъвто и да е цвят. Каква е вероятността да се падне куб? За какво трябва да помислим? Ето един начин... Какви са всички еднакво вероятни възможности за това какво ще излезе от торбата? Имаме 8 плюс 9, което е 17, 17 плюс 5 е 22. 22 плюс 7 е 29. Имаме 29 предмета в торбата. Правилно ли пресметнах? Да, 29 предмета. Да нарисуваме всички възможни предмети. Това ще бъде тази голяма площ. Това са всички възможни предмети. Има 29 възможни предмети. Това са 29 еднакво вероятни възможности за това, което ще излезе първо от торбата. Като приемаме, че е еднакво лесно за куб и за сфера да излезе от торбата. Колко от събитията отговарят на условието ни – да имаме куб? Имам 8 зелени куба и 5 жълти куба. Значи общо 13 куба. Нека ги нарисувам. Има 13 куба. Да нарисуваме това така. Има 13 куба. Това са ни кубовете. Не рисувам идеално, само приблизително. Това са всички кубове. Вероятността да имаме куб е броят на събитията, които отговарят на условията ни. Има 13 куба, които имат еднакво голям шанс да излязат. Върху броя на всички възможни събития, които са 29. Това включва кубовете и сферите. Сега ще задам различен въпрос. Каква е вероятността да получим нещо жълто? Жълт предмет – куб или сфера. Още веднъж, колко неща отговарят на условията ни? Имаме 5 плюс 7 – 12 жълти предмета в торбата. Значи имаме 29 еднакво вероятни възможности. Ще използвам същия цвят. Имаме 29 еднакво вероятни възможности и 12 от тях отговарят на условията ни. Ще нарисувам 12 тук. Ще опитам да го направя добре, доколкото мога. Жълти предмети – има 12 такива. 12 от предметите са жълти. 12, които отговарят на условията ни, от общо 29. Следователно вероятността да получим куб е 13 върху 29. А вероятността да получим жълт предмет е 12 върху 29. Сега да вземем нещо малко по-интересно. Каква е вероятността да получим жълт куб? Ще взема жълто. Сега ни интересува и цвета. Това е жълто. Както казва синът ми, 'зълто'. Каква е вероятността да получим жълт куб? Има 29 еднакво вероятни възможности. И от тези 29, 5 са жълти кубове. 5 от тях. Значи вероятността е 5/ 29-ти. И къде ще видим това върху диаграмата на Вен, която направих? Диаграмата на Вен е просто начин да визуализираме различни възможности. Това става интересно, когато търсим къде се припокриват множествата. Или пък къде няма такива. Тук мислим за неща, които са членове на множеството на жълтите предмети. Значи са в това множество и освен това са кубове. Става въпрос за ето тази площ. Това е застъпването между двете множества. Ето тази площ. Тя представлява нещата, които са едновременно жълти и кубове. Защото са и в двaта кръга. Нека запиша това тук. Има 5 предмета, които са едновременно жълти и кубове. Сега ще те попитам нещо, което вероятно е най-интересният въпрос. Каква е вероятността да получа нещо, което е жълто ИЛИ куб? Куб от какъвто и да е цвят. Вероятността да имам нещо, което е или жълто, или куб с какъвто и да е цвят. Знаем, че знаменателят пак ще е 29 – това са всички възможни предмети, които могат да излязат от торбата. Но кои са случаите, които отговарят на условията ни? Ето един начин да помислим за това: Има 12 предмета, които отговорят на условието за жълт цвят. Това ще е целият този кръг. 12 предмета отговарят на това условие. Значи тук имаме 12. Това е броят на жълтите предмети. Но не можем просто да добавим към това броя на кубовете. Защото, ако добавим броя на кубовете, вече ще сме преброили тези 5. Тези 5 са преброени като част от 12-те. Ето един начин да помислим за това. Има 7 жълти предмети, които не са кубове. Това са сферите. Има 5 жълти предмета, които са кубове. И после, има 8 куба, които не са жълти. Ето един начин да помислим по въпроса. Когато преброихме тези 12 жълти предмета, преброихме всичко това. Не можем просто да добавим броя на кубовете, защото тогава ще сме преброили тази средна част повторно. Трябва да преброим кубовете. Броят им е 13. 13 куба. И ще трябва да извадим тази средна част. Нека направя това. Така, вадим средната част. Значи минус 5. Това е броят на жълтите кубове. Странно ми е, че пиша думата 'жълто' в зелено! Броят на жълтите кубове. Има и друг начин да процедираме тук. Можем просто да направим сметките. 12 плюс 13 минус 5 дава какво? 20. Правилно ли пресметнах? 12 минус ... Да, 20 е. Това е единият начин; просто получаваме, че това е равно на 20 върху 29. Но дори така изразяваме вероятността да получим нещо чрез други вероятности, които сме открили по-рано в клипа. Да помислим по това за малко. Можем да препишем тази дроб. Можем да препишем това като: 12/29, плюс 13/29, минус 5/29. И това е броят на жълтите предмети върху всички възможни предмети. Значи това е вероятността да се падне жълт предмет. А това тук е броят на кубовете върху всички предмети. Значи имаме плюс вероятността да се падне куб. И това тук е броят на жълтите кубове върху всички предмети. Тук имаме минус вероятността да се падне предмет, който е жълт и куб. Мога да запиша това по този начин. Вероятността да се падне жълто и да се падне куб. Жълто и куб. Може да използваш същия принцип и с други числа. Това е просто моят пример. За да направя нещата по-конкретни. Но това всъщност има обобщителен характер. Ако имаме вероятността за едно условие или няколко условия... Нека го препиша. Ще запиша вероятността по по-обобщен начин. Това ни дава интересна идея. Вероятността да отговорим на едно условие, за предмет, който е член на множество А или множество В, е равна на вероятността да е член на множество А, плюс вероятността да е член на множество В, минус вероятността да е член и на двете. Това е много полезен резултат. Мисля, че това се нарича "правилото за събиране на вероятности". Но искам да ти покажа, че това отговаря на здравия разум. Причината да не може просто да събереш тези две възможности е, че може да има някакво застъпване, И ако просто съберем тези неща, ще преброим това застъпване два пъти. Вече видяхме това по-рано в този клип. Значи трябва да извадим един път застъпването, за да не го броим два пъти. Ще ти дам и друга идея. Понякога имаме възможности, които не се застъпват. Да кажем, че това е множество от всички възможности. Това са всички възможности. И да кажем, че това множество отговаря на условие А. Ще взема друг цвят... Да кажем, че това множество отговаря на условие В. В тази ситуация нямаме застъпване. Нищо не принадлежи едновременно на множество А и В. Значи в тази ситуация вероятността да получим А и В е 0. Няма застъпване. И тези условия, или тези две събития, се наричат "взаимно изключващи се". Изключват се взаимно. Ако две събития са взаимно изключващи се, те не могат да се случат едновременно. Няма събитие, което отговаря и на двете условия. И ако нещата са взаимно изключващи се, не можем да кажем, че вероятността на А и В е вероятност от А плюс В. Защото това е 0. Но ако нещата не се изключват взаимно, ще трябва да извадим застъпващата се част. Най-лесният и най-добър начин да разглеждаш това е да разбереш, че застъпването трябва да се извади. И очевидно, ако събитията се изключват взаимно, вероятността да получим А и В ще бъде 0.