Тълкуване на доверителен интервал за средно аритметично

След като определяме доверителен интервал за средната стойност, е важно да можем да тълкуваме какво ни показва интервала за генералната съвкупност и какво не ни показва.

Доверителният интервал за средната стойност на ни дава набор от подходящи стойности за средната стойност на генералната съвкупност. Ако един доверителен интервал не включва определена стойност, можем да кажем, че не е вероятно тази определена стойност да е действителната средна стойност на генералната съвкупност. Въпреки това, дори ако определена стойност е в границите на интервала, не можем да заключим, че средната стойност на генералната съвкупност е равна на тази конкретна стойност.

Нека да видим няколко примери, които демонстрират как да тълкуваме доверителния интервал за средната стойност.

Феликс е специалист по контрол на качеството в една фабрика, в която се боядисват автомобилни части. Процесът на боядисване включва грундиране, оцветяване и лакиране. За някои части тези три слоя имат обща дебелина от $150$150 микрона. Феликс измерва дебелината в $50$50 случайно избрани точки на една от тези части, за да види дали са правилно боядисани. Неговата извадка показва средна стойност $\bar x=148$x, with, \bar, on top, equals, 148 микрона и стандартно отклонение $s_x=3{,}3$s, start subscript, x, end subscript, equals, 3, comma, 3 микрона.

$95\%$95, percent-ият доверителен интервал за средната дебелина на основание на неговите данни е $(147{,}1;148{,}9)$left parenthesis, 147, comma, 1, ;, 148, comma, 9, right parenthesis.

Не, не може. Интервалът казва, че вероятните стойности за действителната средна дебелина на боята на тази част са между $147{,}1$147, comma, 1 and $148{,} 9$148, comma, 9 микрона. Тъй като в този интервал не попада дебелина от $150$150 микрона, то не изглежда достоверно, че средната дебелина на боята на тази част съответства на желаната стойност. Казано по друг начин, целият интервал е под желаната стойност от $150$150 микрона, така че изглежда средната дебелина на боята на тази част е под целта.

Мартина прочела, че средната възраст на завършващите студенти е $33$33 години. Тя искала да изчисли средната възраст на дипломиращите се студенти в нейния голям университет, затова направила случайна извадка от $30$30 завършващи. Тя установила, че средната им възраст е $\bar x = 31{,}8$x, with, \bar, on top, equals, 31, comma, 8 и стандартното отклонение е $s_x= 4{,}3$s, start subscript, x, end subscript, equals, 4, comma, 3 години. $95\%$95, percent доверителен интервал за средната възраст на база нейните данни е $(30{,}2;33{,}4)$left parenthesis, 30, comma, 2, ;, 33, comma, 4, right parenthesis.

Да. Тъй като $33$33 е в рамките на интервала, това е правдоподобна стойност за средната възраст на цялата генерална съвкупност от дипломиращи се студенти в нейния университет.

Агенцията за опазване на околната среда (АООС) има стандарти и разпоредби, които казват, че нивото на олово в почвата не трябва да превишава границата от $400$400 части на милион (ppm) на обществени места, предназначени за игра на деца. Лука е инспектор и взема $30$30 произволно избрани почвени проби от даден парцел, където се планира изграждането на детска площадка.

Данните показват средна стойност на извадката $\bar x=394\,\text{ppm}$x, with, \bar, on top, equals, 394, start text, p, p, m, end text и стандартно отклонение $s_x=26{,}3\,\text{ppm}$s, start subscript, x, end subscript, equals, 26, comma, 3, start text, p, p, m, end text. Полученият $95\%$95, percent-ен доверителен интервал за средното съдържание на олово е $394 \pm 9{,}8.$394, plus minus, 9, comma, 8, point

Сандра е инженер и работи върху безжичното зареждане за производител на мобилни телефони. Проектните спецификации казват, че пълно зареждане на напълно изтощена батерия трябва да отнема не повече от $2$2 часа.

Сандра прави случайна извадка от $40$40 телефона и зарядни устройства. Тя напълно изчерпва батериите и измерва времето за пълно зареждане на всяка от тях. От тези измервания определя $95\%$95, percent-ен доверителен интервал за средното време за зареждане. Полученият интервал е $124 \pm 2{,}24$124, plus minus, 2, comma, 24 минути.