Допустима грешка 2

Когато се разделихме миналия път, ти дадох една задача – да намериш един интервал, за който да сме основателно уверени – ще говорим малко повече за това защо трябва да използваме подобна засукана формулировка точно тук – става дума за увереността, че имаме 95% вероятност истинската средна стойност за генералната съвкупност, която е р, което е същата като средната стойност на извадковото разпределение на извадкови средни стойност. И има 95% вероятност за истинската средна стойност – и нека сложа това тук. Това е същото като средната стойност на извадковото разпределение на извадкови средни стойности да е в този интервал. И за да направим това, нека ти дам няколко идеи. Каква е вероятността, ако взема една извадка, както и средната стойност на тази извадка, каква е вероятността средната стойност на произволна извадка да е в рамките на две стандартни отклонения от извадковата средна стойност? Т.е. каква е тази вероятност тук? Нека погледнем нашето настоящо разпределение. Това е нашето разпределение, а това тук е нашата извадкова средна стойност. Може би трябва да го оцветя в синьо, защото това е цветът тук горе. Това е нашата извадкова средна стойност. А каква е вероятността средната стойност на произволна извадка да е в рамките на две стандартни отклонения? Произволната извадка е извадка от това разпределение. Това е извадка от извадковото разпределение от извадкови средни стойности. Т.е. че буквално питаме каква е вероятността да се намери извадка в рамките на две стандартни отклонения от средната стойност? Това е едно стандартно отклонение, а това е още едно стандартно отклонение, това там. В общи линии, ако още не си запомнил/а това, не е лошо да се запомнят разни неща, ако имаме нормално разпределение, вероятността да се вземе извадка в рамките на две стандартни отклонения е 95... и ако искаме да сме малко по-точни, тя е 95,4%. Но можем да кажем, че това е приблизително... или бих го написал по този начин – това е около 95%. И наистина това е всичко, което има значение, защото имаме този малък забавен израз, наречен "основателно уверени", и трябва да оценим стандартното отклонение. И можем да кажем... бих казал, че това ще е равно точно на 95,4%. Но като цяло, две стандартни отклонения са 95%, обикновено така го помнят. И сега това твърдение означава точно това, че вероятността извадковата средна стойност, средната стойност на извадката... не извадковата средна стойност, вероятността средната стойност на извадковото разпределение да е в рамките на две стандартни отклонения за извадковото разпределение на х също ще бъде същото число, ще е равно на 95,4%. Това са абсолютно еднакви твърдения. Ако х е в рамките на две стандартни отклонения от това, тогава средната стойност е в рамките на две стандартни отклонения от х. Това са само два начина за изразяване на едно и също нещо. Знаем, че средната стойност на извадковото разпределение е равна на средната стойност на разпределението за генералната съвкупност, която е равна на параметъра р... делът от хора или делът от генералната съвкупност, чийто отговор е 1. Така че това тук е равно на средната стойност на генералната съвкупност. А това твърдение тук, това можем да го заместим с р. Така вероятността р да е в рамките на две стандартни отклонения от извадковото разпределение на х е 95,4%. Сега не знаем това число тук какво е. Но сме го изчислили. Спомни си, най-добрата ни оценка от това е действителното стандартно... истинското стандартно отклонение на генералната съвкупност, разделено на 10. Можем да оценим истинското стандартно отклонение на генералната съвкупност с нашето извадково стандартно отклонение, което е 0,5, значи 0,5, разделено на 10. Най-добрата оценка на стандартното отклонение на извадковото разпределение на извадковата средна стойност е 0,05. И сега можем да кажем... ще сменя цвета – вероятността този параметър р, делът от генералната съвкупност, чийто отговор е 1, е в рамките на два пъти... спомни си, че най-добрата ни оценка на това тук е 0,05 за средната стойност на извадката, която взимаме, вероятността е равна на 95,4%. И можем да кажем, че вероятността р да е в рамките на 2 по 0,05 ще е равна на... 2,0 ще стане 0,10 от нашата средна стойност, което е равно на 95... и нека всъщност внимавам малко повече тук. Не мога да кажа, че е равно, защото ако тук знаехме това, ако знаехме този параметър на извадковото разпределение на извадковата средна стойност, бихме казали, че то е 95,4%. На не го знаем. Само се опитваме да намерим най-добрата оценка за това. И това, което всъщност ще направя тук, е да кажа, че приблизително... и за да покажа, че дори нямаме това ниво на точност, ще кажа приблизително 95%. И сме основателно уверени, че това е 95%, защото използваме тази оценка, която получихме от нашата извадка. И ако извадката е наистина несиметрична, това наистина ще е едно странно число. Ето защо трябва да сме малко по-точни в това, което правим. Но това е начинът да определим тоне колко добър е нашият резултат. И това ще е около 95%. Или можем да кажем, че е вероятността това р да е в рамките на 0,10 от нашата извадкова средна стойност, която получихме. И колко е средната стойност, която всъщност получихме? Тя беше 0,43. И ако сме в рамките на 0,1 от 0,43, това оначава че сме в рамките на 0,43 плюс или минус 0,1, за което, също приблизително, сме основателно уверени, че е около 95%. И искам да съм много ясен. Всичко, което направих, ето тук горе, в кафяво, до жълто, и цялото това ярко червено, само преповтарям същото нещо, което е тук вътре. Стана малко по-разтегливо, когато смених точното стандартно отклонение на извадковото разпределение с неговата оценка. И ето защо това става... някак поставих знаците за приблизително равно, за да кажа, че сме основателно уверени – и дори се отървах от значещи цифри. Но пък намерихме нашия интервал. Интервал, за който можем да сме основателно уверени, че има 95% вероятност р да е в рамките на този интервал, и ще е равно на 0,43 плюс или минус 0,1. Или имаме интервал от – имаме един доверителен интервал. Имаме 95% доверителен интервал, и можем да кажем, че... 0,43 минус 0,1 е 0,33. Ако напишем това в проценти, можем да кажем от 33% до... ако добавим 0,1, тогава 0,43 плюс 0,1, получаваме 53% – до 53%. Така сме 95% уверени. Не казваме точно, че вероятността за действителният дял е 95%, но сме 95% уверени, че действителният дял е между 33% и 55%. р е в тези граници тук. Или има и друг начин, който ще видиш в много допитвания, правени преди, хората ще кажат, че е правено допитване, от което 43% ще гласуват за номер едно, а номер едно в този случай е кандидат В. И от друга страна, след като всички останали са гласували за кандидат А, 57% ще гласуват за А. След което дават допустима граница на грешката. Ще видиш това във всяка анкета по телевизията. Дават допустима граница на грешка. И тази граница е един друг начин за описване на този доверителен интервал. И казват, че допустимата граница на грешката в този случай е 10%, което означава че има 95%-ен доверителен интервал, ако се отиде на плюс или минус 10% от тази стойност тук. Наистина искам да обърна внимание, не може да кажем със сигурност че има 95% вероятност действителният резултат да бъде в рамките на 10% от това, защото трябва да пресметнем стандартното отклонение на извадковата средна стойност. Но това е най-добрата оценка, която можем да направим при наличната информация. Ако правим допитване сред 100 души, това е най-добрият доверителен интервал, който можем да получим. И това число всъщност е сравнително голямо. И ако погледнем това, ще видим, че има около 95% вероятност действителната стойност на това число да е между 33% и 53%. И всъщност още има шанс кандидат В да може да спечели, макар че само 43% от общо 100 души ще гласуват за него. Ако искаме да имаме малко по-точни данни, добре би било да вземем повече извадки. Можеш да си представиш. Вместо да питаме 100 човека, вместо n да е 100, ако направим n да е 1000, тогава ще вземем това число тук, ще вземем това число тук и ще го разделим на корен квадратен от 1000, вместо на корен квадратен от 100. Така че ще делим на 33 или нещо подобно. И тогава големината на стандартното отклонение на нашето извадково разпределение ще намалее. И така разстоянието от две стандартни отклонения ще е по-малко число, и оттам ще имаме по-малка допустима граница на грешката. И може би ще искаш да намерим границата на грешката толкова малка, че да предскажем убедително кой ще спечели изборите.