If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:16:52

Видео транскрипция

Привет отново! Нека сега решим една задача, която включва почти всичко свързано с вероятности, комбинации и условна вероятност, което научихме досега. Нека да кажем, че имам една чанта. И в нея имам 5 симетрични монети и 10 несиметрични монети. За една симетрична монета има естествено 50 на 50 възможност да се падне ези или тура, а несиметричната монета – да кажем, че има 80% възможност да се падне ези за всяка от тези монети, и има 20% възможност да се падне тура. Понеже ще се пада или ези, или тура. И въпросът ми е какво се случва, ако бръкна в чантата, очите ми са затворени, и извадя една монета. След което я подхвърля шест пъти. Да кажем, че се паднат 5 от 6... Да кажем, че ми се паднат четири пъти ези от шест възможни. Това е резултатът, който съм получил. И всъщност това, което искам да знам, е: каква е вероятността да съм извадил симетрична монета, ако съм получил четири от шест страни ези? И преди да продължим, нека направим малко преговор на теоремата на Бейс, а мисля, че това ще ни даде една добра основа за останалата част от задачата. И така, теорема на Бейс... ще я разгледам в този ъгъл тук. Теоремата на Бейс ни казва, че вероятността да се случат a и b едновременно... Това обърнато "U" представлява сечение в теорията на множествата, което по същество ни казва, че това са множество събития, при които протичат a И b. Това е равно на вероятността a да се случи, когато е дадено b, умножена по вероятността за b, което също е равно на вероятността от b, което се случва, когато е дадено a, умножено по вероятността от a. И мисля, че казаното би трябвало да ти изглежда логично. Ако не е така, добра идея е да видиш клиповете за условна вероятност. Но това, което можем да направим, е да преподредим това уравнение тук, за да получим – ако само разделим двете страни на вероятността от b, получаваме вероятността – ще оцветя с ярък цвят – вероятността от a, когато е дадено b, е равна на вероятността от b, когато е дадено а, умножена по вероятността от a, делено на вероятността от b. Просто взех това уравнение, разделих двете страни на вероятността от b и получих това. А какво са a и b в задачата, която се опитваме да решим? Искаме да намерим вероятността, при която да съм изтеглил една симетрична монета, като ми е дадено, че са се паднали четири ези при шест хвърляния. Така че в тази ситуация a представлява симетричната монета. а е равно на изтеглена симетрична монета. И тогава b ще е равно на четири от шест страни ези. И за да намерим вероятността за изтегляне на симетрична монета, като ни е дадено, че имаме четири от шест страни ези, трябва да знаем вероятността да се паднат четири от шест страни ези, когато е дадено, че е изтеглена симетричната монета, умножено по вероятността да се изтегли една симетрична монета, делено на вероятността да се паднат четири от шест страни ези в общия случай. Това е вероятно най-трудната част от решението. И по пътя всъщност вероятно ще намерим двата члена горе. Каква е вероятността от b или вероятността да се получат четири от шест страни ези? Нека видим какво се случва. Точно когато бръквам в чантата и изваждам една монета, има възможност 5 на 15... да, има общо 15 монети... и изваждам една симетрична монета. И така, 5 от 15, това е равно точно на 1/3, и изваждам една симетрична монета. Тогава остават 2/3 възможност да извадя несиметрична монета. Ако извадя симетрична монета, при условие, че имам симетрична монета, каква е вероятността при условие, че имам симетричната монета, каква е вероятността да се паднат четири ези от шест хвърляния? Нека още веднъж да си припомним предишните няколко клипа. Каква е вероятността да се направи една конкретна комбинация с четири ези от шест хвърляния? Например те може да са ези, тура, ези, тура, ези, ези. Може първите четири да са ези: ези, ези, ези, ези, тура, тура. Нали така? Имаме различни такива комбинации и още веднъж ще използваме биномния коефициент или ще ползваме знанията си за комбинациите, за да разберем какъв е броят на различните комбинации. Но каква е вероятността за всяка от тези комбинации? Каква е вероятността да се пада ези? Това е 0,5, умножено по 0,5, по 0,5, по 0,5. И вероятността да се падне тура е пак с честота 0,5, умножено по0,5, и пак по0,5. Така във всеки случай от тези имаме 1/2 възможност да получим ези, умножено по 1/2 възможност за тура, умножено по 1/2 възможност за ези, умножено по 1/2 възможност за тура, и т.н., и т.н. И във всеки от тези случаи по същество има 1/2 пъти по 1/2, 6 пъти. Така вероятността за всяка комбинация е 1/2 на шеста степен. А колко комбинации има като тази? Където получаваме... от шестте подхвърляния по същество избираме четири ези-та. Избираме... ако съм отново богът на вероятностите... избирам четири, точно четири, от шестте ези-та. Извинявам се, избирам четири от точно шест от прехвърлянията, да бъдат езита, нали така? Избирам кое от прехвърлянията да бъде избрано, ако мога така да кажа. И всъщност ще има... от шест прехвърляния избирам, в ролята си на бог на вероятностите, четири ези-та. Това е броят уникални комбинации, където имаме четири ези от шест хвърляния, умножено по вероятността за всяка комбинация, което е 1/2 на шеста степен. Колко е 6 избира 4? Това е 6 факториел върху 4 факториел, умножено по (6 – 4) факториел. Това е 2 факториел. Което е умножено по 1/2 на шеста степен. Пак ще мина на цветове, за да не изглежда монотонно. И това е равно на 6 пъти по 5, по 4, по 3, по 2... не е нужно да пишем 1 по 1, но все пак ще го направя – върху 4 факториел. 4 пъти по 3, по 2, по 1. И след това 2 факториел. 2 пъти по 1. И това се съкращава с това. Можем да пренебрегнем 1. Делим числителя и знаменателя на 2, и това става 3. Така тук се получава 15. И тук е равно на 15 пъти по 1/2 на шеста степен. Колко прави 1/2 на шеста степен? Това е 1/64, нали? Имаме 1/64, получава се15/64. Така вероятността да получим четири ези от 6 хвърляния, при условие, че имаме симетрична монета. Вероятността за 4 ези от 6 хвърляния е 15 от 64. И ако го погледнем, основано на дефиницията ни за b и a, това е вероятността от b при условие, че е изпълнено а. Нали така? b е четири ези от 6 хвърляния при балансирана монета. Съгласихме се. Да намерим вероятността за... има два начина за получаване на четири ези от 6 хвърляния. Единият е да изтеглим балансирана монета и да умножим по 15/64. И след това я има и вероятността да изтеглим несиметрична монета. Та каква е вероятността за несиметричната монета? Да получим четири ези от шест хвърляния, като имаме несиметрична монета? Още веднъж – каква е вероятността за всяка от комбинациите, когато получаваме четири от шест? В тази ситуация нека направим същото. Ези, тура, ези, тура, ези, ези. Това са четири ези от шест. Но в тази ситуация нямаме 50% шанс да изтеглим ези. 80 % са. Така ще имаме 0,8 пъти, умножено 0,2, по 0,8, по 0,2, по 0,8, по 0,8. Сега, очевидно, имаме... знаем, че това произведение може се размести, защото редът на умножение няма значение. Така имаме 0,8 на четвърта степен, умножено по 0,2 на квадрат. И няма значение. Знаем, че за всяка уникална комбинация ще имаме същата вероятност. Понеже можем просто да разместим реда, в който умножаваме. Тогава колко комбинации от тези са налице? Ако пак кажа, че съм богът на вероятността, и от шест подхвърляния избираме четири... избираме четири, при които ще получим ези? По колко начина мога да избера група от четири? Още веднъж, това е умножено по 6 избира 4. Намерихме колко е това. 6 избира 4 е 15. И това е равно на 15 пъти по 0,8 на четвърта степен, умножено по 0,2 на квадрат. Което е вероятността за четири ези от шест хвърляния, при условие, че имаме несиметрична монета. И каква е общата вероятност да получим четири ези от шест подхвърляния? Ами това ще е вероятността да получим симетричната монета, което е 1/3, умножено по вероятността да се получат четири от шест езита със симетрична монета – това е 15/64. Плюс вероятността да изтеглим несиметрична монета, 2/3, умножено по вероятността да получим четири ези от шест, при условие, че разполагаме с несиметрична монета – и това е полученото тук. Умножаваме по 15, по 0,8 на четвърта степен, по 0,2 на квадрат. И това е вероятността да се получат четири ези от шест. Нека пресметнем каква е тя. Това ще се съкрати с това. Това става 5/64, добре. 2/3 умножено по 15 дава 10. И сега трябва да намерим колко е това. Ще надхвърля ограничението за време, да видим дали партньорът ми Ютюб ще ми позволи да надхвърля времето. 0,8, умножено по 0,8, по 0,8, по 0,8 е равно на... после умножаваме по 0,2 на квадрат. И така по 0,2, по 0,2, е равно на 0,016. Така това е това. И казахме, че умножаваме по 10, нали? Защото имаме 2/3, умножено по 15. Така, умножаваме по 10, това е равно на 16,384 %. Така вероятността е... този член тук... нека напиша това, и ще мина пак на цветове... това е 0,16384. И ще съберем това с 5 делено на 64. Да видим. 5 делено на 64 е равно на 0,07, на каквото е тук. Плюс 0,16384 е равно на 0,241965. И това е вероятността... без да знаем коя монета съм изтеглил, това е вероятността да получим четири ези от шест хвърляния. И като ги комбинираме какво става? Това може да е 1/3 възможност да имаме симетрични, и 2/3-несиметрични. Получаваме 24,19... запазвам точността, само защото това може да ми послужи по-късно... вероятност в %. И това е вероятността от b. И нека видим дали можем да изтрием малко от това, защото не мисля, че всички тези сметки са ни нужни. Мисля, че сме готови да заместим по формулата на Бейс, която изведохме от теоремата на Бейс. Не, не това исках да направя. Записването на по-дълги клипове е опасно, защото ако сгреша веднъж, ще изгубим повече време. Не искам да изтрия нещо, което би могло да е от полза. Добре. Нека видим дали можем да намерим вероятността да сме изтеглили една симетрична монета, като ни е дадено, че сме получили четири страни ези от шест. И това ще е равно на... по теоремата на Бейс, в която трябва да намираш логиката – това е равно на вероятността от b, при условие че е изпълнено а. Т.е. това е вероятността да получим четири ези от шест, като ни е дадена симетрична монета, умножено по вероятността за симетрична монета върху вероятността да получим четири ези по кой да е от двата начина. И така, четири ези от шест при дадена симетрична монета – намерихме това тук – резултатът 15/64. Тук е равно на 15/64. Каква е вероятността да изтеглим симетрична монета? Имаме 15 монети и 5 от тях са симетрични, така че имаме 5 от 15, което е 1/3. Умножено по 1/3. И каква е вероятността по принцип да сме получили четири ези от шест? Това е следното число: 0,241965. Което е равно на... да видим, това е равно на 5/64, делено на 0,241965, и какво дава това? Получаваме 5 делено на 64, делено на 0,241965, равно на 0,32... това е приблизително равно на 32,3 %. Изумително. Или относително изумително. Това е малко по-малко от 1/3 вероятност да сме изтеглили симетричната монета, при условие, че са се паднали четири ези от шест. И това, което е интересно е, че четири ези от шест, това някак намали вероятността да сме изтеглили балансирана монета. Защото преди да получим някакви данни за това какво се случва, когато я подхвърлим, щяхме да имаме 1/3 вероятност. Което е 33,3, нали? Но понеже имаме повече страни ези, отколкото тура, универсалната вероятност ни казва, че ако имаме повече страни ези, отколкото тура, това дава по-голяма вероятност да сме изтеглили несиметрична монета, която е малко по-тежка откъм страната ези. Но се оказва, че не е толкова много по-вероятно, защото това не е толкова необичайно като получен резултат, дори и ако монетата е симетрична. И ето защо вероятността да сме изтеглили симетрична монета малко намаля. Нека само малко да разгледаме логиката, това е един вид Теория на множествата, за да осмислим това, за което говорим. И ако се върнем към Теоремата на Бейс – само нека кажем че това е пространството на всички събития. Това е цялото пространство. Има едва 1/3 шанс да изтегля симетрична монета. Т.е. около 1/3 от това са симетрични монети. Тези са симетрични, тези не са. И тогава, ако избера симетрична монета, намерихме, че има вероятност приблизително 15 от 64 да получим четири ези от шест. Може би това е тази малка част тук – ще използвам различен цвят. Това е тази част. И намерихме, че ако имаме несиметрична монета – забравих точния им брой, но имаше някаква вероятност да получим четири ези от шест възможни. Всъщност тук е малко по-вероятно, ето така. И тук се получават четири страни ези от шест възможни, като е налице една несиметрична монета. Получават се четири страни ези от шест, с една симетрична монета налице. Тогава цялото това място представлява вероятността да имаме четири страни ези от шест. И всичко, което ни казва Теоремата на Бейс, е: "Вижте, имаме четири ези от общо шест възможни. Намираме се в тази област, където получаваме четири ези от шест. И ако имаме четири ези от шест, 1/3 от от това пространство – приблизително, или 32,3% от това подмножество, с четири ези от шест, пресича пространството на симетричните монети. Така тези 32,3% са по същество тази част от цялата вероятност да получим четири ези от шест. Както и да е, надявам се, че казаното дотук е станало ясно. Надявам се, че и Ютюб ще ми позволи качването на този клип, защото влизам в 17-та минута. Ще се видим в следващия клип.