Разработен пример за намиране на площ под криви на плътността

"Разгледай кривата на плътността на случайната величина по-надолу." Тази крива на плътността не изглежда като тези, които обикновено виждаме, които са малко по-криви, но с това ни е по-лесно да работим и да пресмятаме площите. Искат от нас да намерим процентите на областта под кривата на плътността, при която х е по-голямо от две. Каква е областта, при която х е по-голямо от две? Това е при х равно на две. Те говорят за тази област ето тук. Трябва да намерим процента от общата площ под кривата, която представлява тази синя област. Нека първо намерим общата площ под кривата на плътността. Плътността... кривата на плътността има площ от х равно на едно до х равно на три. Тоест, областта е същата като на този по-голям трапец. Нека очертая този трапец в червено. Искаме да намерим площта на този трапец ето тук. А после това трябва да е равно на едно, понеже всички криви на плътността под общата крива имат площ от едно. Нека първо потвърдим това. Има два начина да си го представим. Можем да го разделим на две фигури или просто можеш да използваш формулата за лице на трапец. Всъщност нека използваме формулата за лице на трапец. Формулата за лице на трапец е...трябва да вземеш средно аритметичното на тази дължина... Нека направя това в друг цвят. Тази дължина и тази дължина и после умножаваме това по основата. Средно аритметичното от тази дължина и тази дължина, да видим, това е 0,25... плюс тази височина, 0,75 и това делим на две. Това е средно аритметично от тези две страни, умножено по основата, умножено по това ето тук, което е две. Това ще ни даде, както и трябва, 0,25 плюс 0,75 и това е равно на едно. Площта под цялата крива на плътността е едно, което ние искахме да проверим за тази крива на плътността. Нека сега помислим какъв процент от тази област е представен в синьо тук. Можем да направим същото нещо. Можем да кажем, че това е трапец. Можем да вземем средно аритметично на тази страна и тази страна и да го умножим по основата. Тази страна е висока 0,5. плюс 0,75... височина 0,75... и ще вземем средно аритметично от това, разделено на две, умножено по основата. Основата ще е от две до три и е равна само на едно. Тоест, умножаваме по едно. Това ще ни даде 1,25 върху две. На колко ще е равно това? Това е равно на нула цяло и колко? Да видим: 0,625. Правилно ли изчислих? Да. Ако умножа това по две, ще получа 1,25. Процентът площ под тази крива на плътността, при който х е по-голямо от две, това е десетичното му представяне. Ако искаме да го запишем като процент, той ще е 62,5%. Нека направим още един пример. "Разгледай кривата на плътността по-долу." Имаме още една от тези донякъде ъглови криви на плътността. "Намери процента площ под кривата на плътността, при който х е по-голямо от три." Тоест, говорим за, да видим, при това х е равно на три, х е по-голямо от три, говорим за цялата тази площ ето тук. Това е донякъде просто, понеже, ако взимаме площта, при която х е по-голямо от три, това е цялата площ под кривата на плътността. А цялата площ под която и да е крива на плътността трябва да е равна на едно. Или можеш да кажеш: "Намери процента площ под кривата на плътността." При цялата крива на плътността х е по-голямо от три. Така че, отговорът е 100% и дори не трябва да се занимаваме да опитваме директно да пресмятаме площта.