Условна вероятност

"Да предположим, че Ерика едновременно хвърля зар с 6 страни и зар с 4 страни. Нека "А" да е случаят, при който тя хвърля чифт." Нека запиша това – "А" е случаят, при който тя хвърля чифт. "В е случаят, при който зарът с 4 страни е 4. Използвай множеството от възможни резултати по-долу, за да отговориш на следващите въпроси." Дотук добре. "Каква е вероятността за "А", вероятността, че Ерика ще хвърли чифт?" Тук имаме множество от възможни резултати. Всеки от тях е еднакво вероятен и, да видим, колко такива има. Има 1, 2, 3, 4, по 1, 2, 3, 4, 5, 6, тоест, има 24 възможни резултати, което е логично. Има 4 възможни резултата за зара с 4 страни и 6 възможни резултата за зара с 6 страни, така че имаш общ брой от 24 еднакво вероятни резултати, така че вероятността за – нека я запиша тук – вероятността за "А" ще е делът от 24-те еднакво вероятни резултати, които включват случай "А", че тя ще хвърли чифт. Нека помислим за това. В този случай е хвърлила чифт, 1 и 1. Не изглеждат еднакво, но и двата са единици. Да видим. Имаме 2 и 2. Имаме 3 и 3, имаме 4 и 4. Не е възможно да имаме 5 и 5, понеже зарът с 4 страни стига само до 4. Има 4 възможности, 4 от 24-те еднакво вероятни възможности включват хвърляне на чифт. Има вероятност от 4/24 или, ако разделим числителя и знаменателя на 4, това е вероятност от 1/6, че Ерика ще хвърли чифт. "Каква е вероятността за "В", вероятността, че зарът с четири страни ще е 4?" Вероятността за "В"... отново, има 24 равно вероятни резултата и колко от тях включват случай, при който зарът с 4 страни ще е 4? Всички ето тук включват случаите, при които зарът с 4 страни ще е 4. Това са 1, 2, 3, 4, 5, 6 от 24-те еднакво вероятни възможности или можеш да кажеш 1/4 от еднакво вероятните възможности, или вероятността е 1/4, което има смисъл, понеже вероятността за "В" игнорира зара с 6 страни и просто пита каква е вероятността зарът с четири страни да е 4. Това е 1 от 4 възможни резултата за този зар с 4 страни. "Каква е вероятността "А" за дадено "В", вероятността, че Ерика ще хвърли чифт, при положение, че зарът с 4 страни е 4?" Нека помислим малко – вероятността за "А" при положение, че е било хвърлено дадено "В". Ограничаваме еднакво възможните си вероятности до ситуацията, при която е било хвърлено "В". При дадено "В" означава, че предполагаме, че е било хвърлено "В". Ограничаваме множеството от възможни резултати, при които е било хвърлено "В", до тези тук. Това са 1, 2, 3, 4, 5, 6 еднакво възможни резултати. Колко от тях включват "А"? Това тук, което вече заградихме, е едно от 6-те еднакво вероятни резултати, които включват чифт, така че има вероятност от 1/6. Това е логично. Нека го запиша. Това е 1 върху 6. Защо е логично? Понеже приемаме, че зарът с 4 страни е 4. Това е аналогия на това да кажеш каква е вероятността, когато хвърлиш зара с 6 страни, да получиш и 4, понеже единствено по този начин ще хвърлиш чифт, при положение, че зарът с 4 страни е 4. Виждаме това тук. Зарът с 6 страни също трябва да е 4, за да може тези да са чифт, понеже приемаме, че е случай "В" ни е даден и ограничаваме множеството от възможни резултати със случай "В". "Каква е вероятността за "В" при дадено "А", вероятността, че зарът с 4 страни е 4, при положение, че Ерика хвърли чифт?" Нека помислим малко върху това. Вероятността за "В" при дадено "А", "В" при положение, че "А" се е случило. Какво ще е това? Това означава, че ще ограничим множеството от възможни резултати до 4 еднакво възможни резултата, че "А" се е случило, тоест, предполагам може да се каже, когато "А" се е случило. Това са 1, 2, 3, 4. Колко от тях включват случая, при който събитие "В" се е случило? Само едно от тези 4, които включват случай "В", и то е ето това, при което имаме чифт. Тоест, има вероятност от 1/4, че ако приемем, при положение, че сме хвърлили чифт, вероятността зарът с 4 страни да е 4 е 1/4, като това е логично. Ако сме хвърлили чифт и един от заровете е с четири страни, ще имаме чифт или с 1, или с 2, или с 3, или с 4. Виждаш това тук, чифт 1, чифт 2, чифт 3, чифт 4. Когато това ни е дадено, каква е вероятността зарът с 4 страни да е 4? Това е само един от тези 4 резултати, при което има чифт 4. Добре. "Каква е вероятността за "А" и "В", вероятността, че Ерика хвърля чифт и вторият зар е 4?" Това означава, че са се случили и "А" и "В". Нека разгледаме това. Нека го запиша. Ще го направя в нов цвят. Вероятността за – и ще запиша "и" ("and") тук в неутрален цвят, вероятността за "А" и "В". Вероятността за "А" и "В" е равна на... Сега отново имаме 24 еднакво възможни резултати. Имаме 24 еднакво възможни резултати. Колко от тях включват "А" и "В"? За да получиш "А" и "В", трябва да имаш чифт и зарът с 4 страни трябва да е 4. Трябва да имаш чифт 4. Има само един резултат от еднакво възможните 24 резултата, който попада в тази ситуация, ето този тук, тоест, има вероятност от 1/24, 1/24. "Каква е вероятността за "А" умножена по вероятността за "В" при дадено "А"?" Можем да се върнем към числата си тук. Вероятността за "А" ще е 1/6. Нека направя това в пурпурен цвят. Трябва внимание с цветовете. Това е 1/6 по вероятността за "В" при дадено "А". Вероятността за "В" при дадено "А" е 1/4, по 1/4, което – и това е любопитно – е 1/24, 1/24. "Каква е вероятността за "В" умножена по вероятността за "А" при дадено "В". Вероятността за "В", както пресметнахме, е 1/4, 1/4, а вероятността за "А" при дадено "В" е 1/6, по 1/6, което е равно на 1/24. Логично ли е вероятността за "А" и "В" да е 1/24, вероятността за "А" по вероятността за "В" при дадено "А" да е 1/24 и вероятността за "В" по вероятността за "А" при дадено "В" също да е 1/24? Винаги ли трябва да е така? Да. Помисли какво означава вероятност за "А" и "В". Имам предвид, че и двете са се случили. Но това е същото като да кажеш каква е вероятността да се случи "А". За да се случат "В" и "А", това просто ще е това по вероятността, че "В" се е случило, при положение, че "А" се е случило, понеже можеш да кажеш, че ги ограничаваме. Вече сме умножили по вероятността "А" да се случи и сега умножаваме по вероятността "В" да се случи, при положение, че "А" се е случило. В повечето случаи предпочитам да разместя тези, за да си изясня нещата. Нека запиша това така – вероятността за "В" при дадено "А" по вероятността за "А". Това е вероятността, че събитие "А" се е случило, а това е вероятността, че събитие "В" се е случило, при положение, че знаем, че "А" се е случило. Напълно логично е, че това ще е същото като вероятността за "А" и "В". Очевидно, това е вероятност за двете от тези, за това да се случат и "А", и "В". Можеш да го направиш и по обратния начин. Вероятността за "А" при дадено "В" по вероятността за "В" и това също ще е... Казваме, че "В" трябва да се е случило и че при положение, че това "В" се е случило, "А" трябва също да се е случило, така че е напълно логично, че това също ще е вероятността за "А" и "В".