Пример за условна вероятност 2

Нека решим още една от тези задачи за зависима вероятност. Имаме 4 монети в една чанта. 3 от тях са несиметрични, като има 45 % вероятност да се падне тура при хвърляне, останалите са симетрични. Така за останалите има 50 % вероятност за тура или 50 % вероятност за ези. Произволно избираме една монета от чантата и я подхвърляме 4 пъти. Каква е процентът на вероятност да се паднат 4 пъти ези? Нека помислим по въпроса. Когато бръкнем в чантата и извадим една от монетите, има някаква вероятност да извадим несиметрична монета, и 3 от 4 монети са несиметрични, така че има 3/4 вероятност да извадим несиметрична монета; и само една от четирите монети, която е симетрична, т.е. има 1/4 вероятност сега да извадя симетрична монета. При условие, че имаме несиметрична монета – нека си припомним, че за една несиметрична монета има 45% вероятност да се падне тура. Значи имам 45 % вероятност за тура, което означава също така – тук трябва да внимаваме, защото ни питат относно ези. Ако има 45% вероятност да се падне тура, това означава, че има 55% вероятност да се падне ези, нали така? Имаме 100% вероятност да се падне едно от тези двете. Ако имам 45% вероятност за тура, тогава 100 – 45, т.е. 55% е за ези. За симетричната монета имам 50% вероятност за тура и 50% за ези. Така. Сега искам да знам и за двата случая каква е вероятността в проценти да се получат 4 ези-та. Ако е дадено – при несиметрична монета вероятността да се паднат... за всяко от 4 ези-та има 55% вероятност при всяко от тези подхвърляния, т.е. вероятността да получим точно 4 ези-та ще се изрази чрез 0,55 по 0,55, по 0,55, по 0,55, и така вероятността да изберем несиметрична монета, както и тази да получим 4 ези-та подред ще е равна на 3/4, умножено по всичко това тук, така имаме 3/4 пъти по това 0,55, умножено 4 пъти по себе си, така че мога да го запиша като 0,55 на четвърта степен. След малко ще извадя калкулатора, за да пресметнем колко прави това. Нека сега направим същото при симетричната монета. Ако извадя една симетрична монета, вероятността да получа ези четири пъти подред е 0,5 пъти по 0,5, по 0,5 по 0,5. Или вероятността да получа симетричната монета, която е 1/4, по вероятността да получа 4 ези-та подред ще е равна на 1/4 пъти по всичко това, т.е. ще е 1/4 пъти по... това е самото 0,5, умножено по себе си 4 пъти, което дава 0,5 на четвърта степен. Сега ще извадя калкулатора, за да пресметна тези стойности. Така получаваме 3, делено на 4, по – знаем, че когато извършваме умножение, не умножаваме по това тук в знаменателя, затова имаме 3/4 пъти по – ще използвам кръгли скоби тук. Не извършвам действията в скобите, поради реда на действията. Така че 0,55 на четвърта степен е равно на нула цяло и – нека го запиша... Изваждам калкулатора от екрана, за да мога да го запиша прилично. Всъщност нека направя тези две изчисления. Та тази вероятност е това там, и тогава тази тук долу е 1, делено на 4, по 0,5 на четвърта степен. Така става равно на това там. И нека изясним нещата. Вероятността да изтеглим несиметричната монета, след което да получим 4 ези-та едно след друго, това е числото тук горе. То представлява около 6,9 % вероятност да получим несиметричната монета, и тогава да получим 4 ези-та едно след друго. Вероятността да получим симетричната монета, а след това и 4 ези-та едно след друго, е дори по-малка - тя е само 1,6% вероятност. Вероятността да получим 4 ези-та по който и да е начин ще представлява сумата от това и това, или ще е сумата от тези двете, и тя ще е – нека извадя калкулатора, ще е равно на... мога да взема предния отговор. Но ще го набера, за да няма объркване. Така, имаме 0,015625 + 0,0686296875... при всички положения ще го закръгля, няма да има кой знае какво значение. Събирам ги – ще махна калкулатора от екрана, за да мога пак да видя, и нека я запиша. Получавам следното: 0,068629. Ще го закръгля на 7, а това тук долу беше 0,015625, и когато съберем тези двете, понеже ни интересува да получим 4 ези-та по който и да е от двата начина, има вероятност да ги получим по този начин; несиметричната монета, това е вероятността да ги получим от симетричната монета. Искаме да намерим и по двата начина, така че събираме тези двете, които вече намерихме с нашия калкулатор, и ако съберем това число и това число, получаваме 0,08425 – продължават, но аз ще го закръгля. Това е равно на 8,425% или 8,43% вероятност да получим 4 ези-та едно след друго. Пак да кажа, че това е малко по-голямо число от това, когато всички монети са симетрични, защото има 3/4 вероятност да получа монета, която е по-вероятно да даде ези-та. Ето защо това число ще е малко по-голямо от вероятността, когато имам симетрична монета, да се паднат 4 ези-та едно след друго.