Вероятност при хвърлянето на монета

Ще решим някои интересни задачи и едно от нещата, които ще видим при вероятностите, е фактът, че винаги можем да решим някоя по-интересна задача. Сега ще помислим за това: ще взема една обикновена балансирана монета и ще я подхвърля три пъти. Целта ми е да намеря вероятността да се падне поне едно ези. Поне едно ези от трите хвърляния. Най-лесният начин, по който можем да направим това, е да намерим броя на еднакво възможните вероятности. А миналия път видяхме, че ако 3 пъти хвърлим една монета, налице са 8 възможности. За първото хвърляне възможностите са две. При второто хвърляне отново има две възможности. И при третото хвърляне има две възможности. Т.е. броят е 2х2х2 – има осем варианта, които са еднакво вероятни, ако подхвърля една монета 3 пъти. При колко от тези варианти има поне едно ези? Вече описахме всички варианти ето тук, така че остана само да броим – при колко от тези се е паднало поне едно ези? Имаме едно, две, три, четири, пет, шест, седем. И седем от тези варианти съдържат поне едно ези. А при този вариант не е така. Един вид седем от осемте съдържат поне по едно ези. В момента вероятно си мислиш: "Добре, Сал, ще го направим, като запишем всички възможности. Но ще е много трудно, ако кажа, че поне едно ези се пада за 20 хвърляния. Сега имаме 12, защото съм направил само 3 хвърляния. Така, че нека изясня – това са резултатите при 3 хвърляния. Ще бъде много по-трудно да го направя, и ще отнеме много време, ако имаме 20 хвърляния. Виждаме ли тук някакъв по-лесен начин? Има ли някой друг начин, по който да помислим? Но не може да го направиш просто хей така, по някакъв прост начин. Не можем просто да кажем: "О! Вероятността за ези, по вероятността за ези." Защото ако първия път се паднат ези, може да нямаш ези отново. Или пак може да ни се паднат, но не е задължително. Така става малко по-сложно. Но има и лесен начин да помислим по въпроса. Тази методика можем да я използваме тук: и всъщност това може да се види на много изпити, където задачата изглежда като много трудна, но ако само я обмислим по правилния начин, тя моментално става по-лесна! Един начин, по който можем да разсъждаваме е – вероятността за поне едно ези при 3 хвърляния е равна на вероятността не всички страни да бъдат тура. Нали така? Ако получим само тура, тогава няма нужното най-малко едно ези. Така че тези две неща са равносилни. Вероятността да получим поне едно ези след 3 хвърляния е равна на вероятността да не получим само тура при 3 хвърляния. И каква е вероятността да не получим всички страни тура? Тя ще бъде 1 минус вероятността всички да са тура. И понеже има 3 хвърляния, това е вероятността да получим тура, тура, тура. Защото при всяка от другите ситуации ще е налице поне едно ези. И това са всички други възможности. Това е единствената друга възможност, която е останала. Ако ги съберем заедно, ние ще получим 1. Нека го напиша по този начин. Вероятността... ( ще използвам нов цвят, за да се види откъде идва всичко). Вероятността да не получим всички страни тура плюс вероятността да са всичките тура. С това изчерпваме тази задача. Налице са възможните обстоятелства. И нашите шансове да получим или никакви страни тура, или всички страни тура, които са взаимно изключващи се. Можем да ги съберем. Вероятността (нека я напиша по този начин)... Вероятността да не получим всички страни тура или (за да е ясно какво правим, ... или вероятността за всички страни тура ще е равна на 1. Те взаимно се изключват: или ще имаме не всички страни да са тура, имаме и ези, или всичко ще е тура. Но не е възможно да се случват двете неща. Като виждаме, че двете взаимно се изключват, и казваме, че вероятността за това, или за това да се случи, можем да съберем вероятностите, и по същество това са всички възможни събития. Ако съберем тези тук, налице е вероятността което и да е от събитията да се случи, това се отбелязва като 1 (единица) или 100% вероятност. Друг вариант да го разглеждаме е вероятността не всички да са тура, което се отбелязва като 1 минус вероятността за всички страни да са тура. Това написахме тук. А вероятността за всички страни тура е повече от ясна: тази вероятност е 1/2, понеже има 1/2 шанс да се падне тура при първото хвърляне, умножено по, нека го напиша тук, ще имаме 1 минус вероятността да имаме само тура, ще имаме 1/2 възможност да имаме страни тура при първото хвърляне, след което ще имаме тура при второто хвърляне, и следва още тура при третото хвърляне. И 1/2 по 1/2 по 1/2, това ще е равно ще е равно на 1/8. И сетне 1 минус 1/8, т.е. 8/8 минус 1/8 ще е равно на 7/8. Това може да се приложи в една задача, която се решава по по-труден начин от това да пишем всички тези неща в първата задача. Можем да кажем, че вероятността, която... Нека имаме 10 подхвърляния, вероятността за поне едно ези. Поне едно ези след десет подхвърляния. Действаме по същия начин, това е същото нещо... Това ще е равно на вероятността да не са всички страни тура при 10 подхвърляния. Не са всичките тура. Казваме, че вероятността да не са тура при всички подхвърляния. Не всички страни да са тура при 10 подхвърляния. Това ще е равно на 1 минус вероятността да се паднат 10 пъти тура. Така че имаме равенство с 1 минус вероятността да се паднат 10 страни тура една след друга. И това ще е равно на... тази част тук, нека запиша. Това ще е равно на 1 минус; тази част ще е 1/2, умножено по 1/2 по 1/2... и така десет пъти. По 1/2 по 1/2... Пет, шест, седем, осем, девет и десет пъти по 1/2. В числителя получаваме 1, така тук ще е 1, нека използвам зелено, ще е равно на 1 минус... в числителя имаме 1 десет пъти, т.е. 1, а в знаменателя имаме, 2 пъти по 2 е 4, 4 по 2 е 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. 1024. Това е равно на... 1024/1024 е равно на 1, минус 1/1024, което е равно на 1023 върху 1024. Това е общият знаменател тук, оцветен в синьо. Върху 1024. Та ако подхвърлим една монета десет пъти един след друг, обикновена монета, вероятно ще получим поне едно ези при тези десет хвърляния. Имаме доста голямо число. 1023 върху 1024. Можем да използваме калкулатор, за да пресметнем това в проценти. Нека го направя, понеже е интересно. Така, имаме 1023, делено на 1024. Получава се 99,9 % вероятност да се получи поне едно ези. Закръглено това е равно на 99,9% вероятност. Малко го закръглих, дори е малко по-голямо число от това. А това е много хубав инструмент, много хубав начин, по който да представим нещата. Понеже записването на всички варианти би ни отнело цяла вечност. Всъщност трябваше да напишем 1024 варианта. Това упражнение за подхвърляне на монетата би отнело цялото ни време. Ако помислим по малко по-различен начин, ще кажем, че вероятността да получим поне едно ези при десет хвърляния, е равна на вероятността да не получим само тура. Което е 1 минус вероятността да получим всички страни тура. А това всъщност е нещо много лесно.