Пример за независими събития: вземане на изпит

На един тест с избираеми отговори задача 1 има 4 отговора, а задача 2 има 3 отговора. Това са възможните отговори. Всяка задача има само един правилен отговор. Каква е вероятността да се уцели верният отговор при двете задачи на случаен принцип? Вероятността за отгатване на верния отговор при всяка една задача – това са независими събития. Ще напиша това. Вероятността за верен отговор на задача номер 1 е независима... Или да го напиша по този начин: Вероятността за верен отговор на задача номер 1 и вероятността за верен отговор на задача номер 2, са независими. Което означава, че резултатът от едно от събитията, отгатването на първата задача, няма да засегне вероятността за правилно отгатване при втората задача. Независими събития. Така че общата вероятност за отгатване и на двете задачи – това означава, че вероятността за вярно предположение при въпрос номер 1 и въпрос номер 2 ще е равна на произведението на тези вероятности. И ще видим нагледно защо е така след малко. Ще бъде равно на произведението на вероятността за верен отговор на задача 1 по вероятността за задача 2. И така, какво представлява всяка от тези вероятности? При задача 1 има 4 отговора, които са 4 възможни резултата, и само един от тях ще е верен. Всяка задача има само един верен отговор. Така че вероятността задача 1 да е вярно решена е 1/4. След това вероятността за задача 2 да бъде правилно решена – задача 2 има три отговора, т.е. налице са три възможни резултата. И има само един верен отговор сред тези три. И вероятността за верен отговор при задача 2 е 1/3. Вероятността за верен отговор при задача 1 е 1/4. Вероятността за решаването на двете задачи ще е равна на произведението им. Т.е. ще бъде равно на 1/4 пъти по 1/3, което е 1/12. А за да видим нагледно защо има смисъл това, нека направим следната схема. Направихме нещо подобно, когато хвърляхме две отделни зарчета. Нека помислим за задача номер 1. Задача номер 1 съдържа 4 отговора, от които само един е верен. И така, нека напишем, че са налице 4 отговора. Така имаме 1 – ще напиша неверен отговор 1, неверен отговор 2, неверен отговор 3, и накрая имаме верния отговор тук. Това са четирите отговора. Не е нужно те да бъдат в този ред на изпита, но можем да ги поставим в този ред. Задача номер 2 има 3 отговора, от които само един е верен. При задача номер 2 грешни са отговор 1, отговор 2, и накрая, да кажем, третият отговор е верен. Не е задължителен този ред, но знаем, че са налице два грешни отговора и един верен. И така, какви са всичките различни възможни резултати? Можем да начертаем нещо като табличка тук. Всички тези възможни резултати. Нека запишем всички резултати. Всяка една от тези клетки или всяка кутийка в таблицата представлява възможен резултат. Бихме могли – просто предполагаме. Избираме произволно една от тези 4, и избираме произволно една от тези 4. Може да получим неправилен отговор 1 и неправилен отговор 1 – неправилен отговор в задача номер 1, и след това неправилен отговор в задача номер 2. Това ще е тази клетка там. Да речем, че получаваме това – задача номер 1 е вярна, но за отговора на задача 2 получаваме, че е неверен. Всичко това ще представи възможните резултати, когато направим предположения за всяка задача. А кои от тези резултати представят верни отговори и в двата случая? Получаването на верен резултат в двата случая, се вижда само тук – верен отговор на задача 1 и верен отговор на задача номер 2. И това е един от възможните резултати, а колко възможни резултати общо има тук? Има 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, общо 12 възможни резултата. Или щом това са независими събития, можем да умножим. Виждаме, че има 12 резултата, защото са налице 12 възможни резултата. Така имаме 4 възможни резултата при задача номер 1, умножени по трите възможни резултата при задача номер 2, и така също получаваме 12.