Разпределение на средна стойност на Бернули и формули за дисперсия

Миналия път намерихме средната стойност, дисперсията и стандартното отклонение за разпределението на Бернули с конкретни числа. В този клип искам да разгледаме общия случай, за да изведем формулите за средната стойност и дисперсията при разпределение на Бернули, когато не разполагаме с действителните числа. Ако само знаем, че вероятността за успех е p, тогава вероятността за неуспех е 1 минус p. Нека погледнем това, нека вземем генерална съвкупност, за която вероятността за успех... ще определим успеха като 1, имаме вероятност p, и вероятността за неуспех – вероятността за неуспех е 1 минус p. Каквото и да е това. И очевидно, ако съберем тези двете, ако ги разглеждаме като проценти, техният сбор е 100%. Или ако съберем тези две стойности, техният сбор е 1. И случаят е точно такъв, з ащото това са единствените две възможности, които може да се случат. Ако това е 60% възможност за успех, трябва да има 40% възможност за неуспех. При 70% възможност за успех, 30% се падат за неуспех. И като дефинирахме това – това е най-общото определение за разпределение на Бернули. Това е същото, което направихме в миналия клип, а сега искам да изчислим очакваната стойност, която е същата като средната стойност на това разпределение, и искам да пресметнем дисперсията, която е точно равна на очакваното отклонение на стойността от средната стойност, на квадрат. Нека го направим. Каква е средната стойност тук? Каква ще е тя? Това е вероятността на претегления сбор от стойностите, които могат да приемат тези. Така че имаме 1 минус р вероятност да има неуспех, да получим 0. Имаме вероятност 1 – р да получим 0, така че умножаваме по 0. После вероятността да получим 1 е р, плюс р по 1. А това се изчислява много лесно. 0 пъти по нещо е 0. Така това се съкращава. Тогава р, умножено по 1 ще бъде равно на р. Доста разбираемо си е. Средната стойност, очакваната стойност за това разпределение, е р. И р може да е тук някъде. Пак трябва да кажем, че това е стойност, която всъщност не можем да разглеждаме при това разпределение, интересен факт. Но това е очакваната стойност. А каква ще е дисперсията? Каква е дисперсията при това разпределение? Не забравяй, че това е претегленият сбор от квадратите на разстоянията от средната стойност. А каква е вероятността да получим 0? Вече я намерихме. Има вероятност 1 минус р да получим 0. И това е частта с вероятности. А какво е разстоянието на квадрат от 0 до нашата средна стойност? Ами това разстояние от 0 до средната стойност... ще го напиша тук... то ще е 0, стойността, която вземаме... ще използвам синьо, след като вече съм написал 0, 0 минус средната стойност... ще оцветя това с нов цвят – минус средната стойност. Това много прилича на оранжевото. Ще направя средната стойност в бяло. 0 минус средната стойност, която е р плюс вероятността да получим 1, което е само р, това е отклонението на квадрат, трябва много да внимавам. Това е вероятността за претегления сбор на отклоненията на квадрат от средната стойност. А какво е разстоянието... сега имаме 1... каква е разликата между 1 и средната стойност? Тя е 1 минус средната стойност, която тук ще е р. Ще искаме да повдигнем на квадрат и това. Това тук ще е дисперсията. Нека всъщност я пресметнем. Така, това ще е равно на 1 минус р. А 0 минус р ще е –р. Ако го повдигнем на квадрат, ще получим само р на квадрат. Така ще имаме р на квадрат. Плюс р, умножено по... колко е 1 минус р на квадрат? 1 минус р на квадрат ще бъде 1 на квадрат, което си е 1, минус 2 пъти по произведението от това. И това ще бъде минус 2р тук. След това имаме плюс отрицателно р на квадрат. Плюс р на квадрат, ето така. Сега нека умножим всичко. Това ще бъде... този член тук ще бъде р на квадрат минус р на трета степен. И този член тук, цялото това нещо, ще е равно на плюс р, умножено по 1, което е р. р по отрицателно 2р дава минус 2р на квадрат. Тогава р, умножено по р на квадрат става р на трета степен. Вече можем да опростим. р на трета степен се съкращава с р на трета. И имаме р на квадрат минус 2р на квадрат. И това тук става... имаме това р тук, така, равно на р. И когато добавим р на квадрат към отрицателното 2р на квадрат, остават (–р) на квадрат минус р на квадрат. И ако искаме да разложим, за да изнесем р пред скоби, това ще е равно на р по... р делено на р, получаваме 1, р на квадрат, делено на р, дава р. Така получаваме р, умножено по 1 минус р, което е доста прилична формула. И нашата промяна представлява р, умножено по 1 минус р. А ако искаме да отидем на следващото ниво, и да намерим стандартното отклонение, стандартното отклонение е равно на квадратния корен от дисперсията, която е равна на квадратен корен от р, умножено по 1 минус р. А дори можем да проверим, че това всъщност върши страхотна работа в примера, който решихме тук горе. Средната ни стойност е р, вероятността за успех. Виждаме, че това е 0,6. И знаем, че дисперсията е по същество вероятността за успех, умножена по вероятността за неуспех. Това там е нашата дисперсия. Вероятността за успех в този пример беше 0,6, а вероятността за неуспех беше 0,4. Умножаваме двете, получаваме 0,24, което е точно същото, което получихме в последния пример. И ако намерим квадратния му корен за стандартното отклонение, каквото правим тук, получаваме 0,49. Надявам се, че това беше полезно, ще градим върху това по-нататък, в материала по дедуктивна статистика.