Основно съдържание
Статистика и вероятности
Курс: Статистика и вероятности > Раздел 9
Урок 6: Формули за средно аритметична стойност и стандартно отклонение на биномиално разпределени случайни променливи- Средна стойност и дисперсия на разпределение на Бернули пример
- Разпределение на средна стойност на Бернули и формули за дисперсия
- Очаквана стойност на биномиална променлива
- Дисперсия на биномиална променлива
- Намиране на средно аритметичното и стандартното отклонение на биномиални случайни променливи
- Средно аритметично и стандартно отклонение на биномиална случайна променлива
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Разпределение на средна стойност на Бернули и формули за дисперсия
Сал продължава примера от предишното видео и извежда формулите за средно аритметично и дисперсия за разпределението на Бернули. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Миналия път намерихме средната
стойност, дисперсията и стандартното отклонение
за разпределението на Бернули с конкретни числа. В този клип искам да
разгледаме общия случай, за да изведем
формулите за средната стойност и дисперсията при разпределение
на Бернули, когато не разполагаме с действителните числа. Ако само знаем,
че вероятността за успех е p, тогава вероятността за неуспех е
1 минус p. Нека погледнем това, нека
вземем генерална съвкупност, за която вероятността за успех...
ще определим успеха като 1, имаме вероятност p, и
вероятността за неуспех – вероятността за неуспех
е 1 минус p. Каквото и да е това. И очевидно, ако съберем
тези двете, ако ги разглеждаме като проценти, техният сбор е 100%. Или ако съберем тези
две стойности, техният сбор е 1. И случаят е точно такъв,
з
ащото това са единствените две възможности, които може да се случат. Ако това е 60% възможност за успех,
трябва да има 40% възможност за неуспех. При 70% възможност за успех, 30%
се падат за неуспех. И като дефинирахме това – това е най-общото определение за разпределение на Бернули. Това е същото, което направихме
в миналия клип, а сега искам да изчислим очакваната
стойност, която е същата като средната стойност
на това разпределение, и искам да пресметнем дисперсията, която
е точно равна на очакваното отклонение на стойността
от средната стойност, на квадрат. Нека го направим. Каква е средната стойност тук? Каква ще е тя? Това е вероятността на
претегления сбор от стойностите, които
могат да приемат тези. Така че имаме 1 минус р
вероятност да има неуспех, да получим 0. Имаме вероятност 1 – р да получим 0, така че умножаваме по 0. После вероятността да получим 1 е р, плюс р по 1. А това се изчислява много лесно. 0 пъти по нещо е 0. Така това се съкращава. Тогава р, умножено по 1 ще бъде равно на р. Доста разбираемо си е. Средната стойност, очакваната стойност
за това разпределение, е р. И р може да е тук някъде. Пак трябва да кажем, че това е стойност,
която всъщност не можем да разглеждаме при това разпределение,
интересен факт. Но това е очакваната стойност. А каква ще е дисперсията? Каква е дисперсията
при това разпределение? Не забравяй, че това е претегленият
сбор от квадратите на разстоянията от средната стойност. А каква е вероятността
да получим 0? Вече я намерихме. Има вероятност 1 минус р
да получим 0. И това е частта с вероятности. А какво е разстоянието на квадрат
от 0 до нашата средна стойност? Ами това разстояние от 0
до средната стойност... ще го напиша тук... то ще е 0, стойността,
която вземаме... ще използвам синьо,
след като вече съм написал 0, 0 минус средната стойност...
ще оцветя това с нов цвят – минус средната стойност. Това много прилича на оранжевото. Ще направя средната стойност в бяло. 0 минус средната стойност, която е р
плюс вероятността да получим 1, което е само р,
това е отклонението на квадрат, трябва много да внимавам. Това е вероятността за претегления сбор
на отклоненията на квадрат от средната стойност. А какво е разстоянието...
сега имаме 1... каква е разликата между
1 и средната стойност? Тя е 1 минус средната стойност,
която тук ще е р. Ще искаме да повдигнем
на квадрат и това. Това тук ще е дисперсията. Нека всъщност я пресметнем. Така, това ще е
равно на 1 минус р. А 0 минус р ще е –р. Ако го повдигнем на квадрат,
ще получим само р на квадрат. Така ще имаме р на квадрат. Плюс р, умножено по... колко е
1 минус р на квадрат? 1 минус р на квадрат ще бъде
1 на квадрат, което си е 1, минус 2 пъти по произведението от това. И това ще бъде минус
2р тук. След това имаме плюс
отрицателно р на квадрат. Плюс р на квадрат, ето така. Сега нека умножим всичко. Това ще бъде... този член
тук ще бъде р на квадрат минус р
на трета степен. И този член тук,
цялото това нещо, ще е равно на плюс р, умножено по 1,
което е р. р по отрицателно 2р дава
минус 2р на квадрат. Тогава р, умножено по р на квадрат
става р на трета степен. Вече можем да опростим. р на трета степен се съкращава
с р на трета. И имаме р на квадрат
минус 2р на квадрат. И това тук става...
имаме това р тук, така, равно на р. И когато добавим р на квадрат
към отрицателното 2р на квадрат, остават (–р) на квадрат
минус р на квадрат. И ако искаме да разложим, за
да изнесем р пред скоби, това ще е равно на р по...
р делено на р, получаваме 1, р на квадрат, делено на р, дава р. Така получаваме р, умножено по 1 минус р,
което е доста прилична формула. И нашата промяна представлява
р, умножено по 1 минус р. А ако искаме да отидем
на следващото ниво, и да намерим стандартното отклонение,
стандартното отклонение е равно на квадратния корен от дисперсията,
която е равна на квадратен корен от р, умножено по 1 минус р. А дори можем да проверим, че
това всъщност върши страхотна работа в примера, който решихме тук горе. Средната ни стойност е р,
вероятността за успех. Виждаме, че това е 0,6. И знаем, че дисперсията
е по същество вероятността за успех, умножена по
вероятността за неуспех. Това там е нашата дисперсия. Вероятността за успех
в този пример беше 0,6, а вероятността за неуспех беше 0,4. Умножаваме двете, получаваме
0,24, което е точно същото, което получихме в последния пример. И ако намерим квадратния
му корен за стандартното отклонение, каквото правим тук,
получаваме 0,49. Надявам се, че това беше
полезно, ще градим върху това по-нататък,
в материала по дедуктивна статистика.