Основно съдържание
Статистика и вероятности
Курс: Статистика и вероятности > Раздел 9
Урок 6: Формули за средно аритметична стойност и стандартно отклонение на биномиално разпределени случайни променливи- Средна стойност и дисперсия на разпределение на Бернули пример
- Разпределение на средна стойност на Бернули и формули за дисперсия
- Очаквана стойност на биномиална променлива
- Дисперсия на биномиална променлива
- Намиране на средно аритметичното и стандартното отклонение на биномиални случайни променливи
- Средно аритметично и стандартно отклонение на биномиална случайна променлива
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Очаквана стойност на биномиална променлива
Извеждане и използване на формула за очаквана стойност (средно аритметично) за биномиални случайни променливи.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Имам една биномна променлива х и ще я опиша по много общ начин. Тя е броят успехи след n опита, където вероятността за успех за всеки опит е p. Това е логичен начин да опишем всяка
случайна биномна променлива. Приемаме, че всеки от тези опити
е независим, вероятността остава константа, имаме краен брой опити, всеки опит води или до ясен успех,
или до провал. В това видео ще се фокусираме
върху това каква ще е очакваната стойност на
тази биномна променлива. На колко ще е равна
очакваната стойност на х? И направо ще ти дам отговора, а по-късно в това видео ще го
докажем малко по-математически. Очакваната стойност на X се оказва, че ще е равна на броя опити по вероятността за успех
за всеки от тези опити и ако искаш да направиш това
малко по-конкретно, представи си, че един опит е
един наказателен удар, удар от линията за наказателно хвърляне. Успехът е вкаран кош, вероятността е... ще използвам
този жълт цвят... това ще е процентът наказателни удари и, да кажем, че е 30% или 0,3 и, за целта на дискусията, да кажем, че правим 10 наказателни удара,
така че n = 10. Това прави нещата
доста по-конкретни. В този сценарий очакваната стойност, ако X е броят вкарани наказателни удари след хвърляне на 10 наказателни удара, с процент успешни
наказателни удари от 30%, въз основа на това, което ти казах,
тя ще е n*р... броят опити по вероятността за успех
във всеки един от тези опити, по 0,3 и което, разбира се, ще е равно на 3. Логично ли е това? Ако правиш 10 хвърляния с 30% успеваемост, естествено е да очаквам
да вкараш 3 хвърляния. Като изяснихме това, нека математически се уверим в това и ще използваме някои от
свойствата на очакваната стойност, по-специално, ще използваме факта, че ако имам очакваната стойност на сбора
на две независими случайни променливи, да кажем, X + Y, това ще е равно на
очакваната стойност на X плюс очакваната стойност на Y, както говорим в други видеа. Като приемем това, нека въведем
нова случайна променлива, нека наречем нашата случайна променлива Y. И знаем няколко неща за Y. Вероятността Y да е равно на 1 е равна на р и вероятността Y да е равно на 0 е равна на 1 – р. И това са единствените два резултата
за тази случайна променлива. И може да виждаш накъде отива това. Можеш да гледаш на тази случайна променлива... тя представлява един опит, става 1 при успех, става 0, когато нямаш успех... и може да гледаш на случайната променлива X като равна на Y + Y и ще имаме 10 от тези. Така че ще имаме 10 Y. Можеш да гледаш на тази случайна
променлива Y като равна на 1, ако вкараш един свободен удар, и равна на 0, ако не вкараш свободен удар. Това всъщност представлява
един от тези опити. И можеш да гледаш на X като сбора
от n такива опити. Нека изясня. Незабавно преминах към конкретен пример, но всъщност трябва да кажа n Y, понеже искам примерът да е общ. Тук има n Y. Това беше специфичен пример, но ще остана в общия случай
за останалата част от видеото, понеже сега опитваме
да докажем този резултат тук. Нека просто вземем очакваната
стойност на двете страни. Колко ще е това? Получаваме, че очакваната стойност
на X е равна на – това е очакваната стойност на
цялото това нещо, но според това свойство тук ще е очакваната стойност на Y плюс очакваната стойност на Y, плюс... и ще направим това n пъти... плюс очакваната стойност на Y... и ще имаме n от тези, така че можеш да запишеш, че това е равно на, това тук е n... това е n пъти по очакваната стойност на Y. Каква е очакваната стойност на Y? Това е доста лесно и можем да го направим директно. Очакваната стойност на Y...
нека го запиша ето тук: очакваната стойност на Y е вероятността за претеглените резултати и след като тук има само два дискретни резултата, доста е лесно да изчислим това. Имаме вероятността р да получим 1, тоест р*1, плюс... имаме вероятност от 1 – р да получим 0, така че до колко се опростява това? 0 по което и да е число е 0, а после имаш 1*р и това е просто р, така че очакваната стойност на Y
е просто равна на р и готово... получаваме, че очакваната стойност
на X е 10 пъти по очакваната стойност или очакваната стойност на X е n пъти по очакваната стойност на Y и очакваната стойност на Y е р, така че очакваната стойност
на X е равна на np. Надявам се, че се увери в това.