If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Очаквана стойност на биномиална променлива

Извеждане и използване на формула за очаквана стойност (средно аритметично) за биномиални случайни променливи.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Имам една биномна променлива х и ще я опиша по много общ начин. Тя е броят успехи след n опита, където вероятността за успех за всеки опит е p. Това е логичен начин да опишем всяка случайна биномна променлива. Приемаме, че всеки от тези опити е независим, вероятността остава константа, имаме краен брой опити, всеки опит води или до ясен успех, или до провал. В това видео ще се фокусираме върху това каква ще е очакваната стойност на тази биномна променлива. На колко ще е равна очакваната стойност на х? И направо ще ти дам отговора, а по-късно в това видео ще го докажем малко по-математически. Очакваната стойност на X се оказва, че ще е равна на броя опити по вероятността за успех за всеки от тези опити и ако искаш да направиш това малко по-конкретно, представи си, че един опит е един наказателен удар, удар от линията за наказателно хвърляне. Успехът е вкаран кош, вероятността е... ще използвам този жълт цвят... това ще е процентът наказателни удари и, да кажем, че е 30% или 0,3 и, за целта на дискусията, да кажем, че правим 10 наказателни удара, така че n = 10. Това прави нещата доста по-конкретни. В този сценарий очакваната стойност, ако X е броят вкарани наказателни удари след хвърляне на 10 наказателни удара, с процент успешни наказателни удари от 30%, въз основа на това, което ти казах, тя ще е n*р... броят опити по вероятността за успех във всеки един от тези опити, по 0,3 и което, разбира се, ще е равно на 3. Логично ли е това? Ако правиш 10 хвърляния с 30% успеваемост, естествено е да очаквам да вкараш 3 хвърляния. Като изяснихме това, нека математически се уверим в това и ще използваме някои от свойствата на очакваната стойност, по-специално, ще използваме факта, че ако имам очакваната стойност на сбора на две независими случайни променливи, да кажем, X + Y, това ще е равно на очакваната стойност на X плюс очакваната стойност на Y, както говорим в други видеа. Като приемем това, нека въведем нова случайна променлива, нека наречем нашата случайна променлива Y. И знаем няколко неща за Y. Вероятността Y да е равно на 1 е равна на р и вероятността Y да е равно на 0 е равна на 1 – р. И това са единствените два резултата за тази случайна променлива. И може да виждаш накъде отива това. Можеш да гледаш на тази случайна променлива... тя представлява един опит, става 1 при успех, става 0, когато нямаш успех... и може да гледаш на случайната променлива X като равна на Y + Y и ще имаме 10 от тези. Така че ще имаме 10 Y. Можеш да гледаш на тази случайна променлива Y като равна на 1, ако вкараш един свободен удар, и равна на 0, ако не вкараш свободен удар. Това всъщност представлява един от тези опити. И можеш да гледаш на X като сбора от n такива опити. Нека изясня. Незабавно преминах към конкретен пример, но всъщност трябва да кажа n Y, понеже искам примерът да е общ. Тук има n Y. Това беше специфичен пример, но ще остана в общия случай за останалата част от видеото, понеже сега опитваме да докажем този резултат тук. Нека просто вземем очакваната стойност на двете страни. Колко ще е това? Получаваме, че очакваната стойност на X е равна на – това е очакваната стойност на цялото това нещо, но според това свойство тук ще е очакваната стойност на Y плюс очакваната стойност на Y, плюс... и ще направим това n пъти... плюс очакваната стойност на Y... и ще имаме n от тези, така че можеш да запишеш, че това е равно на, това тук е n... това е n пъти по очакваната стойност на Y. Каква е очакваната стойност на Y? Това е доста лесно и можем да го направим директно. Очакваната стойност на Y... нека го запиша ето тук: очакваната стойност на Y е вероятността за претеглените резултати и след като тук има само два дискретни резултата, доста е лесно да изчислим това. Имаме вероятността р да получим 1, тоест р*1, плюс... имаме вероятност от 1 – р да получим 0, така че до колко се опростява това? 0 по което и да е число е 0, а после имаш 1*р и това е просто р, така че очакваната стойност на Y е просто равна на р и готово... получаваме, че очакваната стойност на X е 10 пъти по очакваната стойност или очакваната стойност на X е n пъти по очакваната стойност на Y и очакваната стойност на Y е р, така че очакваната стойност на X е равна на np. Надявам се, че се увери в това.