Намиране на средно аритметичното и стандартното отклонение на биномиални случайни променливи

Казват ни: "Една компания произвежда чипове за мобилни телефони. В една от големите ѝ фабрики 2% от произведените чипове имат някакъв дефект. Проверката за качество включва случайно избиране и проверяване на 500 чипа. Какви са средната стойност и стандартното отклонение на броя дефектните чипове в тези извадки?" Както винаги, спри видеото и опитай да решиш задачата самостоятелно. После ще я решим заедно. Нека определя една случайна променлива, на която ще намерим средната стойност и стандартното отклонение, и ще направя тази случайна променлива да е броят дефектни чипове в извадка от 500 чипа. Нека х да е равно на броя дефектни чипове в извадка от 500 чипа. Първото нещо, което трябва да осъзнаем, е, че това ще е биномиално разпределена случайна величина. Тя е биномиална. Откъде знаем, че е биномиална? Направена е от 500, това тук е краен брой опити. Вероятността да получим дефектен чип можеш да приемеш за вероятност за успех. Малко е нелогично един дефектен чип да е успех, но събираме дефектните чипове, така че ще гледаме на вероятността за дефектен чип като константа през тези 500 опита и ще приемем, че те са независими един от друг, 0,02. Може да се питаш дали заменяме чиповете преди или след това, но приемаме, че е от практически безкрайна генерална съвкупност. Или, ако искаш да се чувстваш по-сигурно, може да кажеш, че заместваш чиповете. Не ни казват това тук, така че ще приемем, че всеки от тези опити е независим от другите и че вероятността да намерим дефектен чип остава константа. Това е биномиална случайна величина или биномиална променлива. Знаем формулите за средната стойност и стандартното отклонение на една случайна променлива. Средната стойност на х, която е същото нещо като очакваната стойност на х, ще е равна на броя опити, n, по вероятността за успех на всеки опит, по р. Колко ще е това? Това ще е равно на... имаме 500 опита и после вероятността за успех на всеки от тези опити е 0,02. Тоест това е 500*0,02. И колко ще е това? 500*0,02 ще е равно на 10. Това е очакваната стойност на броя дефектни чипове, или средната стойност. А какво да кажем за стандартното отклонение? Стандартното отклонение на случайната променлива х... това ще е равно на корен квадратен от дисперсията на нашата случайна променлива х... мога просто да го запиша... записвам го по всички различни начини, които може да видиш, понеже понякога обозначението е най-объркващата част в статистиката. Това ще е корен квадратен от колко? Дисперсията на една случайна променлива ще е равна на броя опити по вероятността за успех във всеки опит, по 1 минус вероятността за успех във всеки опит. В този контекст това ще е равно на... ще имаш 500*0,02 по (1 – 0,02), което е 0,98, тоест по 0,98. Всичко това е под корена. Не направих знака на корена достатъчно дълъг. На колко ще е равно това? Да видим, 500*0,02, вече казахме, че това е 10. 10*0,98, това е равно на корен квадратен от 9,8 и това ще е 3 цяло и нещо. Ако искаме, можем да извадим калкулатор, за да сме по-сигурни за тази стойност. Ще взема 9,8 и ще намеря квадратен корен от тази стойност. Ако закръгля до най-близката стотна, получавам 3,13. Така че стандартното отклонение ще е приблизително 3,13. Ако исках дисперсията, тя щеше да е 9,8. Но искат от нас стандартното отклонение и затова намерихме него. Надявам се, че това ти беше интересно.