Дисперсия на биномиална променлива

В това видео ще продължим пътуването си към разбирането на това каква е очакваната стойност и каква е дисперсията на една случайна променлива. Или каква е очакваната стойност или дисперсията на едно биномно разпределение, което е просто разпределението на една биномна променлива. Както в последното видео, имам тази биномно разпределена случайна величина X, която е определена в много общ смисъл. Тя е броят успехи от n опита, имаме краен брой опити, където вероятността за успех е равна на Р. Вероятността е константа през опитите за всеки от тези независими опити, тоест вероятността за успех от един опит не е зависима от това, което се е случило в другите опити. В предишното видео говорихме за очакваната стойност на тази случайна величина. Казахме, че можем да гледаме на тази случайна величина с биномно разпределение като на сбора от n от това, което приемаме да е променлива на Бернули. Тази случайна величина Y, вероятността да е равна на 1... можеш да направиш това като един успех е равен на р. Вероятността за провал, за Y = 0, е 1 – р. Така че можеш да гледаш на резултата за Y... дали Y е 1 или 0, дали имаме успех, или не във всеки от тези опити... Ако събереш n пъти Y, тогава ще получиш X и използваме тази информация, за да намерим каква ще е очакваната стойност на X, понеже очакваната стойност на Y е лесна за директно изчисление. Очакваната стойност на Y е просто вероятностно претеглените резултати. Тоест това е р*1 плюс 1 – р по 0. Целият този член ще е 0, така че очакваната стойност на Y е само р. И очакваната стойност на X, тя ще е... нека го запиша ето тук... това е само преговор. Можем да кажем, че очакваната стойност на X ще е равна на... знаем от свойствата на очакваната стойност, че тя ще е равна на сбора от очакваните стойности на тези n Y. Или можем да кажем, че е n по очакваната стойност на Y. Очакваната стойност на Y е р, така че това ще е равно на n*р. Ще приложим същата идея, за да намерим на колко ще е равна дисперсията на X, понеже от свойствата на дисперсията знаем... не можеш да направиш това със стандартното отклонение, но можеш да го направиш с дисперсията. И, после, след като намериш дисперсията, просто взимаш корен квадратен за стандартното отклонение. Подобно, дисперсията на X просто ще е сборът от дисперсиите на тези n Y. Тя ще е n пъти по дисперсията на Y. Всичко това се свежда до това на колко ще е равна дисперсията на Y. Нека преместя малко екрана, за да имаме повече място и ще намеря това ето тук. Искаме да намерим дисперсията на Y. На колко ще е равна дисперсията на Y? Тук тя ще е повдигнатите на квадрат вероятни разстояния от очакваната стойност. Имаме вероятност р, какво ще е повдигнатото на квадрат разстояние от очакваната стойност? Ще получим 1 с вероятност р. В този случай разстоянието ни от средната стойност, или от очакваната стойност... ние сме на 1, вече знаем, че очакваната стойност е равна на р, така че това е това за този вероятен резултат, повдигнатото на квадрат разстояние по вероятностното му тегло и после имаме... нека превъртя малко, ще го направя ето тук – плюс, имаме вероятност от 1 – р, 1 – р за другия възможен резултат, тоест в този резултат сме на 0 и разликата между 0 и очакваната ни стойност, тя ще е 0 – р и, отново, ще повдигнем това на квадрат и това е изразът за дисперсията на Y. Можем малко да опростим това. Всичко това ще е равно на р*(1 – р)^2 и после ще е р^2(1 – р). И, да видим, можем да изнесем р(1 – р). Какво ще ни остане? Ако изнесем р(1– р), тогава ще ни остане 1 – р и ако изнесем р(1 – р), тогава ще имаме + р. Тези двете се съкращават взаимно. Всичко това е просто 1. Остава ти р(1 – р), което наистина е дисперсията за биномиално разпределена случайна променлива. Всъщност доказахме това в други видеа. Предполагам не е проблем да го видим още веднъж. Ето, готово. Знаем каква е дисперсията на Y. Тя е р(1 – р) и дисперсията на X е просто n по дисперсията на Y. Ето, заслужаваме малко аплодисменти. Дисперсията на х е равна на n по р(1 –р). Ако вземем конкретния пример от последното видео, в който правя 10 наказателни удара, тоест всеки опит е наказателен удар, ако хвърлям 10 наказателни удара и вероятността ми за успех е 0,3, имам 30% шанс за успех на наказателните удари, дисперсията, която ще очаквам да видя, в този случай, ако X е броят наказателни удари, които вкарвам успешно при тези 10 хвърляния, дисперсията ми ще е 10*0,3 по (1 – 0,3), което е 0,7. Колко ще е това? Това ще е равно на 10*0,3*0,7 – 10*0,21, тоест дисперсията ми в този случай ще е равна на 2,1. Равна е на 2,1. И ако искам да намеря стандартното отклонение на това тук, просто намирам квадратния корен на това. Ако искам стандартното отклонение, просто взимам квадратния корен на този израз тук.