Основно съдържание

Статистика и вероятности

Курс: Статистика и вероятности > Раздел 9

Урок 5: Биномиално разпределени случайни променливи

Биномна вероятност (основи)

Задача 1: Изграждане на интуиция чрез примери за наказателни удари

Стеф вкарва

90 %

от наказателните удари, които стреля. Тя ще хвърля

3

наказателни удара. Приеми, че резултатите от отделните наказателни удари са независими един от друг.

Тя иска да намери вероятността да вкара точно $2$ ‍ от $3$ ‍-те наказателни удара.

За да разгледаме тази задача, нека я разделим на по-малки части.

задача A

Ако тя вкара $2$ ‍ от наказателните удари, колко удара означава, че е пропуснала?

задача б

Намери вероятността тя да вкара първите $2$ ‍ наказателни удара и да пропусне третия.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P (успех, успех, пропуск) =

задача в

"Успех, успех, пропуск" не е единственият начин, по който Стеф може да вкара

2

наказателни удара при

3

опита.

Намери вероятността тя да вкара първия наказателен удар, след това да пропусне втория и накрая да вкара третия наказателен удар.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P (успех, пропуск, успех) =

задача г

Стеф може също да вкара

2

наказателни удара, ако резултатите от хвърлянията са "пропуск, успех, успех".

Намери вероятността тя да пропусне първия наказателен удар и да вкара следващите $2$ ‍ наказателни удара.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P (пропуск, успех, успех) =

задача д

Използвай формулата за комбинации, за да потвърдиш, че тези $3$ ‍ варианта представят всички начини да подредим $2$ ‍ успеха при $3$ ‍ опита.

_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

_{3} C_{2} =

начина

задача е

Сега обединяваме всичко, за да намерим вероятността тя да вкара точно $2$ ‍ от $3$ ‍-те наказателни удара.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P (вкарване на 2 от 3 наказателни удара) = P (У У П) + P (У П У) + P (П У У)

P (вкарването на 2 от 3 наказателни удара) =

Обобщение от задача 1: Извеждане на формула за по-нататъшна употреба

В задача 1 видяхме, че различните подреждания на един и същ резултат имат еднаква вероятност.

Можем да изведем формула за този вид задачи, която се нарича биномни настройки. Една задача с биномна вероятност има следните характеристики:

определен брой опити $(n)$ ‍
всеки опит може да бъде класифициран като "успех" или "провал"
вероятността за успех $(p)$ ‍ е една и съща за всеки опит
резултатите от всеки опит са независими един от друг

Ето обобщение за основната стратегия при биномна вероятност:

\begin{aligned} P (\overset{получаване на точно определен брой}{# успешни опити}) \\ = (\overset{брой}{опити}) \cdot {(\overset{вероятността}{за успех})}^{(\overset{брой}{успешни опити})} \cdot {(\overset{вероятността}{за неуспех})}^{(\overset{брой}{неуспешни опити})} \end{aligned}

Използване на примера от задача 1:

$n = 3$ ‍ наказателни удара
всеки наказателен удар е "вкаран" (успех) или "пропуснат" (неуспех)
вероятността тя да вкара наказателен удар е $p = 0, 90$ ‍
приемаме, че наказателните удари са независими

\begin{aligned} P (вкарване на 2 от 3 наказателни удара) & =_{3} C_{2} \cdot (0, 90)^{2} \cdot (0, 10)^{1} \\ = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 10 \\ = 3 \cdot 0,081 \\ = 0,243 \end{aligned}

Като обобщение...

P (точно k успеха) =_{n} C_{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Опитай се да използваш тези стратегии, за да решиш други задачи.

Задача 2

По-малкият брат на Стеф, Люк, има само

20 %

шанс да вкара наказателен удар. Той ще хвърли

4

наказателни удара.

Каква е вероятността той да вкара точно $2$ ‍ от $4$ ‍ наказателни удара?

P (точно 2 вкарани) =

Задача с повишена трудност

Стеф обещава да купи на Люк сладолед, ако вкара

3

или повече от

4

-те наказателни удара.

Каква е вероятността той да вкара $3$ ‍ или повече от $4$ ‍ наказателни удари?

P (3 или повече вкарвания) =

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.