Основно съдържание

Статистика и вероятности

Курс: Статистика и вероятности > Раздел 9

Урок 5: Биномиално разпределени случайни променливи

Биномна вероятност (основи)

Задача 1: Изграждане на интуиция чрез примери за наказателни удари

Стеф вкарва 90, percent от наказателните удари, които стреля. Тя ще хвърля 3 наказателни удара. Приеми, че резултатите от отделните наказателни удари са независими един от друг.

Тя иска да намери вероятността да вкара точно 2 от 3-те наказателни удара.

За да разгледаме тази задача, нека я разделим на по-малки части.

задача A

Ако тя вкара 2 от наказателните удари, колко удара означава, че е пропуснала?

задача б

Намери вероятността тя да вкара първите 2 наказателни удара и да пропусне третия.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P, left parenthesis, start text, у, с, п, е, х, comma, space, у, с, п, е, х, comma, space, п, р, о, п, у, с, к, end text, right parenthesis, equals

задача в

"Успех, успех, пропуск" не е единственият начин, по който Стеф може да вкара 2 наказателни удара при 3 опита.

Намери вероятността тя да вкара първия наказателен удар, след това да пропусне втория и накрая да вкара третия наказателен удар.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P, left parenthesis, start text, у, с, п, е, х, comma, space, п, р, о, п, у, с, к, comma, space, у, с, п, е, х, end text, right parenthesis, equals

задача г

Стеф може също да вкара 2 наказателни удара, ако резултатите от хвърлянията са "пропуск, успех, успех".

Намери вероятността тя да пропусне първия наказателен удар и да вкара следващите 2 наказателни удара.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P, left parenthesis, start text, п, р, о, п, у, с, к, comma, space, у, с, п, е, х, comma, space, у, с, п, е, х, end text, right parenthesis, equals

задача д

Използвай формулата за комбинации, за да потвърдиш, че тези 3 варианта представят всички начини да подредим 2 успеха при 3 опита.

start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, dot, k, !, end fraction

start subscript, 3, end subscript, start text, C, end text, start subscript, 2, end subscript, equals

начина

задача е

Сега обединяваме всичко, за да намерим вероятността тя да вкара точно 2 от 3-те наказателни удара.
Закръгли отговора си до най-близката стотна, ако е необходимо.

P(\text{вкарване на 2 от 3 наказателни удара})=P(\text{У } \text{У } \text{П})+P(\text{У } \text{П } \text{У})+P(\text{П } \text{У } \text{У})

P, left parenthesis, start text, в, к, а, р, в, а, н, е, space, н, а, space, 2, space, о, т, space, 3, space, н, а, к, а, з, а, т, е, л, н, и, space, у, д, а, р, а, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, У, space, end text, start text, У, space, end text, start text, П, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, У, space, end text, start text, П, space, end text, start text, У, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, П, space, end text, start text, У, space, end text, start text, У, end text, right parenthesis

P, left parenthesis, start text, в, к, а, р, в, а, н, е, т, о, space, н, а, space, 2, space, о, т, space, 3, space, н, а, к, а, з, а, т, е, л, н, и, space, у, д, а, р, а, end text, right parenthesis, equals

Обобщение от задача 1: Извеждане на формула за по-нататъшна употреба

В задача 1 видяхме, че различните подреждания на един и същ резултат имат еднаква вероятност.

Можем да изведем формула за този вид задачи, която се нарича биномни настройки. Една задача с биномна вероятност има следните характеристики:

определен брой опити left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis
всеки опит може да бъде класифициран като "успех" или "провал"
вероятността за успех left parenthesis, start color #1fab54, p, end color #1fab54, right parenthesis е една и съща за всеки опит
резултатите от всеки опит са независими един от друг

Ето обобщение за основната стратегия при биномна вероятност:

$\begin{aligned} &P\left( \overset{\text{получаване на точно определен брой}}{\text{# успешни опити}}\right) \\\\ &=\left( \overset{\text{брой}}{\text{опити}}\right) \cdot \left( \overset{\text{вероятността}}{\text{за успех}}\right)^{\left( \overset{\text{брой}}{\text{успешни опити}}\right)} \cdot \left( \overset{\text{вероятността}}{\text{за неуспех}}\right)^{\left( \overset{\text{брой}}{\text{неуспешни опити}}\right)} \end{aligned}$

Използване на примера от задача 1:

n, equals, 3 наказателни удара
всеки наказателен удар е "вкаран" (успех) или "пропуснат" (неуспех)
вероятността тя да вкара наказателен удар е start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, comma, 90, end color #1fab54
приемаме, че наказателните удари са независими

\begin{aligned}P(\text{вкарване на 2 от 3 наказателни удара}) &= \, _3\text{C}_2 \cdot(\greenD{0{,}90})^{2} \cdot (\maroonD{0{,}10})^1 \\ \\ &=3\cdot0{,}81\cdot0{,}10 \\ \\ &=3\cdot0{,}081 \\ \\ &=0{,}243\end{aligned}

Като обобщение...

P, left parenthesis, start text, т, о, ч, н, о, space, end text, k, start text, space, у, с, п, е, х, а, end text, right parenthesis, equals, start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, dot, p, start superscript, k, end superscript, dot, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript

Опитай се да използваш тези стратегии, за да решиш други задачи.

Задача 2

По-малкият брат на Стеф, Люк, има само 20, percent шанс да вкара наказателен удар. Той ще хвърли 4 наказателни удара.

Каква е вероятността той да вкара точно 2 от 4 наказателни удара?

P, left parenthesis, start text, т, о, ч, н, о, space, 2, space, в, к, а, р, а, н, и, end text, right parenthesis, equals

Задача с повишена трудност

Стеф обещава да купи на Люк сладолед, ако вкара 3 или повече от 4-те наказателни удара.

Каква е вероятността той да вкара 3 или повече от 4 наказателни удари?

P, left parenthesis, start text, 3, space, и, л, и, space, п, о, в, е, ч, е, space, в, к, а, р, в, а, н, и, я, end text, right parenthesis, equals

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.