Биномиално разпределени променливи

В това видео ще говорим за специален клас случайни променливи, известни като биномни (случайни) променливи. И както ще видим, докато изграждаме нашето разбиране за тях, те са не само интересни сами по себе си, но има и голям брой много мощни операции с вероятности и статистика, които ще можем да правим въз основа на нашето разбиране за биномни променливи. За да не бъда голословен, ще започна с много лесен за осмисляне пример на биномна променлива. След това ще помислим малко по-абстрактно относно онова, което я прави биномна. Нека да имам монета. Това тук ще е моята монета. Дори не трябва да бъде обикновена монета. Нека я нарисувам набързо. Ето, това е моята монета. Да кажем, че за дадено хвърляне на тази монета, вероятността да се падне ези е 0,6, а вероятността да се падне тура ще бъде 1 минус 0,6 или 0,4. Сега ще дефинирам случайна променлива X, която ще бъде равна на броя ези след десет хвърляния на моята монета. Сега, какво прави тази променлива биномна? Едно от първите условия, което трябва да е изпълнено за биномна променлива, е, че тя е съставена от краен брой независими изхода. Така... Променливата е съставена от независими опита. Какво имам предвид с независими опити? Един опит е всяко хвърляне на моята монета. Следователно хвърляне е същото като опит (изход) в смисъла на примера, който започнах. И какво имам предвид с това, че всяко хвърляне или всеки опит е независим? Вероятността дали се пада ези или тура на всяко хвърляне е независима от това дали съм получил ези или тура в предходното хвърляне. Така че в този случай нашата променлива е съставена от независими опити. Друго условие е, че всеки опит може да бъде ясно определен като успех или провал. Или казано по друг начин: Всеки опит води до точно един от два дискретни резултата. Така че всеки опит... и в примера, който давам, хвърлянето е опит, може да се определи определи или като успех или като провал. Така че в контекста на тази случайна променлива X, бихме могли да определим опитите с ези като успехи, защото това е нещото, което в случая броим. И така, ще имаме или успех или провал. Ще ти се падне или ези или тура на всеки от тези опити. Друго условие, на което трябва да отговаря една биномна променлива, е, че имаш определен брой опити. Определен брой опити. Така че в този случай, ние казваме, че имаме десет опита, десет хвърляния на нашата монета. Последното условие е, че вероятността за успех, в този контекст успехът е ези, при всеки опит е константа. Ние вече говорихме за това. При всеки опит, на всяко хвърляне, вероятността за ези ще бъде 0,6. Ако по някаква причина това се промени от опит до опит, може би, ако замениш монетата и всяка монета има различна вероятност (за ези и тура) това вече нямаше да бъде биномна променлива. И така, можеш да кажеш: "Добре, това е логично, разбирам защо това е биномна променлива. Можеш ли да ми дадеш пример на нещо, което не е биномна променлива? " Е, нека да дефинираме променливата Y и тя е равна на броя на поповете след теглене на две карти от стандартно тесте. Без подмяна. Без подмяна. Затова можеш веднага да кажеш, "Е, имам усещането, че променливата може и да е биномна." Всеки опит може да бъде класифициран като успех или провал. Един опит е, когато изтегля карта. Ако изтегля поп, това ще бъде успех. Ако не изтегля поп, това би било провал. Изглежда, че това съвпада с това условие там. Имаме определен брой опити. Тегля две карти от тестето, така че изглежда да отговаря на това условие. Но какво става с тези условия, че (променливата) е съставена от независими опити или че вероятността за успех на всеки опит е константа? Добре, ако изтегля поп вероятността за поп на първото теглене, вероятността за поп на първото теглене, на първото теглене, би била равна на... В тесте от 52 карти ще имаш четири попа. Така че вероятността за поп на първия опит ще бъде 4 от 52. Но какво ще кажеш за вероятността да изтеглиш поп на втория опит? На какво ще е равна тя? Е, зависи от това какво се случва на първия опит. Ако в първия опит изтеглиш поп, тогава щеше да имаш... Нека видим, това би било положението ако при първото теглене ти се падне поп. Добре, тогава ще останат три попа в тесте с 51 карти. Но ако не изтеглиш поп от първия опит, то сега имаш четири попа в тесте с 51 карти, защото, не забравяй, не заменяме изтеглената карта. Просто вземаш първата изтеглена карта и я слагаш настрана. Интересното тук е, че тази променлива не се състои от независими опити. Тоест не отговаря на това условие. Вероятността при второто теглене зависи от това какво се е случило при първото. Погледнато по друг начин това е така, защото не заместваме всяка карта, която теглим, тоест вероятността за успех при всеки опит също не е константа. Ето защо тази променлива не е биномна. Ако при Y се отървем от "без замяна" и ако кажем, че заменяме всяка карта, след като сме я взели, то тогава нещата ще бъдат различни. Тогава бихме имали биномна променлива. Ако просто вместо "без замяна" сложим "със замяна", тогава вероятността да изтеглим поп при всеки опит ще бъде 4 от 52. Броят опити ще е краен. Вероятността за успех ще бъде константа и опитите ще бъдат независими. И очевидно всеки опит лесно може да се определи като успех или провал.