Пример: Анализ на разпределението на сума от две нормално разпределени случайни променливи

"Шинджи пътува до работа и се тревожи, че ще му свърши горивото. Количеството гориво, което той използва, следва нормално разпределение за всяка част от пътуването му до работа, но количеството гориво, което той използва при пътуването в обратната посока, варира повече. Количествата гориво, което той използва за всяка част от пътуването, са независими едно от друго. Тук са обобщителните статистики за количеството гориво, което Шинджи използва за всяка част от пътуването си до/от работа." Когато отива към работа, той използва средно 10 литра гориво със стандартно отклонение от 1,5 литра. По пътя си към вкъщи, той също има средна стойност, равна на 10 литра, но има по-голяма разлика. Има по-голямо разсейване. И стандартно отклонение е 2 литра. Да предположим, че Шинджи има 25 литра гориво в резервоара си и възнамерява да кара до работа и обратно до вкъщи. Каква е вероятността на Шинджи да му свърши горивото? Това е много интересно. Имаме разпределенията за количеството гориво, което той използва до работа и до вкъщи, като ни казват, че това са нормални разпределения. Тук горе ни казват, че това следва нормално разпределение. Но тук говорим за общото количество гориво, с което трябва да стигне до работа и да се прибере вкъщи. Искаме да намерим общото разпределение, предполагам, че можеш да кажеш, до вкъщи и обратно. Можем да наречем това работа плюс вкъщи. До вкъщи и обратно. Ако имаш две случайни променливи, които могат да бъдат описани с нормални разпределения, и ако трябва да дефинираш нова случайна променлива като техен сбор, разпределението на тази нова случайна променлива също ще е нормално разпределение и неговата средна стойност ще е сборът от средните стойности на тези случайни променливи. Средната стойност на 'работа плюс вкъщи' ще е равна на 20 литра. За отиване и връщане ще използва средно 20 литра. За стандартното отклонение за 'работа плюс вкъщи' не можеш просто да събереш стандартните отклонения за отиване дотам и връщане обратно. Но понеже количеството гориво за отиване до работа и количеството гориво за връщане от работа са независими случайни променливи; понеже са независими една от друга, можем да съберем дисперсиите. Само ако са независими, можем да съберем дисперсиите. Дисперсията на комбинираното пътуване е равна на дисперсията за отиване на работа плюс дисперсията за връщане от работа. Каква е дисперсията за отиване до работа? Тя е 1,5 на квадрат, така че това ще е 1,5 на квадрат. А каква е дисперсията за връщане до вкъщи? Тя ще е две на квадрат. Това е 2,25 плюс 4, което е равно на 6,25. Дисперсията за отиване и връщане е равна на 6,25. Ако вземем корен квадратен от това, това ще е равно на 2,5. Сега можем да опишем нормалното разпределение на отиването и връщането и да използваме това, за да отговорим на въпроса. Имаме нормално разпределение, което може да изглежда долу-горе така. Знаем, че средната му стойност е 20 литра. Това е 20 литра. Искаме да знаем каква е вероятността на Шинджи да му свърши горивото. За да му свърши горивото, е нужно да му трябват повече от 25 литра гориво. Ако 25 литра гориво са тук – това са 25 литра гориво – сценарият, при който на Шинджи му свършва горивото, е ето тук – това е случаят, при който му трябват повече от 25 литра. Той има 25 литра в резервоара си. Как намираме тази площ тук. Можем да използваме z-таблица. Можем да се запитаме колко стандартни отклонения над средната стойност е 25 литра. Това е пет литра над средната стойност... Нека го запиша. Z е равно на 25 минус средната стойност – минус 20, делено на стандартното отклонение за... предполагам, можеш да кажеш, това комбинирано нормално разпределение. Това са две стандартни отклонения над средната стойност или z-стойност от +2. Ако погледнем една z-таблица и погледнем точно две стандартни отклонения над средната стойност, това ще ни даде тази площ, кумулативната площ под две стандартни отклонения над средната стойност. После, ако извадим това от едно, ще получим площта, която ни интересува. Нека извадим z-таблицата си. Интересува ни z-стойността от точно две, като 2,00 е ето тук...0,9772. Това ни казва, че площта тук е 0,9772. Тогава тази синя площ – вероятността на Шинджи да му свърши горивото – ще е 1 минус 0,9772. На колко е равно това? Да видим, това ще е равно на... 0,0228. Правилно ли пресметнах? Мисля, че пресметнах правилно. Да, 0,0228 е вероятността на Шинджи да му свърши горивото. Ако искаш да го представиш като процент, вероятността да му свърши горивото е 2,28%.