If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Дисперсия на сбор и разлика на случайни променливи

Обяснение на факта, че дисперсията на сумата или разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Tук са определени две случайни променливи. Първата случайна променлива X е теглото на зърнената закуска в случайна кутия от любимата ни закуска, Матемюсли. Нека отбележим, че кутията е затворена. И ние знаем още няколко неща за нея. Знаем каква е математическото очакване на X. Тя е равна на 16 унции. Всъщност е написано на кутията, че нетното тегло на закуската е 16 унции. Когато видиш това на кутия за зърнени храни, това не означава, че всяка кутия ще бъде точно 16 унции. Не забравяй, че броят на парченцата е дискретен, те също може да имат малка разлика в плътностите и различни форми, в зависимост от това как биват опаковани, така че има някаква дисперсия, която можеш да измериш със стандартно отклонение. Така че стандартното отклонение, нека приемем за този пример, за случайната променлива X е 0,8 унции. За да тренираме интуицията си малко по-късно в това видео, нека приемем, че случайната променлива X, винаги остава ограничена в някакъв интервал, че ако тя надхвърли определено тегло или спадне под определено тегло, тогава компанията производител просто премахва тази кутия. И така, нека кажем, че нашата случайна променлива X е винаги по-голяма или равна на 15 унции и винаги е по-малка или равна на 17 унции, само за този пример. Това ще ни помогне да изградим нашата интуиция по-късно. Отделно от това, нека да разгледаме купа, която винаги ще бъде с един и същи размер. Нека в случая бъде 4 унции. Тъй като очакваната стойност на Y, ако вземеш случайно една купа, всъщност винаги ще бъде една и съща купа, или ако вземеш тази конкретна купа и някой я напълни с Матемюсли, очакваното тегло на Матемюслите в тази купа ще бъде четири унции. Но да повторим отново, ще има някаква дисперсия, в зависимост от кой е напълнил купата, как е опакована кутията, дали са я разклатили, докато са я пълнили и т.н. Може да има всякакви неща които могат да доведат до някаква дисперсия. И така, за смисъла на този пример, нека кажем, че изменението може да бъде измерено чрез стандартно отклонение, което е 0,6 унции. И нека приемем, че пълнещият купите е, той, той не обича купите да са прекалено тежки или леки. Тоест той също ще премахва "нестандартни" купи, така че можем да кажем, че максималната стойност на Y, която някога ще приеме, е пет унции, а минималната стойност, която променливата би могла някога да приеме, нека приемем за три унции. Като се има предвид цялата тази информация, това, което искам да направя е... Нека просто кажа, че ще взема случайна кутия Матемюсли и случайна купа, пълна с Матемюсли. Искам да обърна внимание на общото тегло в затворената кутия и пълната купа. И така, това, което искам да обмисля, е сборът X плюс Y. Искам да помисля за сумата от случайните променливи. В предишни видеа научихме, че математическото очакване на сбора ще бъде просто сумата от математическите очаквания на всяка от случайните променливи. Така че, очакваната стойност на X плюс очакваната стойност на Y, ще бъде 16 плюс 4 унции. Това означава, че сборът ще е равен на 20 унции. Но какво да кажем за дисперсията? Можем ли просто да съберем стандартните отклонения? Ако искам да разбера стандартното отклонение на X плюс Y, какво да направя? Оказва се, че не можеш просто да събереш стандартните отклонения, но това не важи за дисперсията. И така, в този случай дисперсията на X плюс Y е равна на дисперсията на X плюс дисперсията на Y. И така, полагаме Х тук и тук. и добавяме плюс Y, а тук поставяме Y. И всъщност, тези двете предполагат независими случайни променливи. Доспуска се, че X и Y са независими, Ще го напиша с главни букви. В бъдещо видео, ще се постарая да ти изградя по-добра интуиция защо трябва да е изпълнено това, че променливите са независими, за да направиш това твърдение тук. Няма да го докажа в това видео, но можем да изградим с малко интуиция. Тук за всяка от тези случайни променливи, ние имаме интервал от две унции, в който тази произволна променлива може да прием всяка стойност и това е вярно и за двете променливи X и Y. Но какво да кажем за тази сума? Е, сумата може да приема максимални стойности... Нека да го напиша така. И така, X плюс Y, каква е максималната стойност, която тази сума би могла да приеме? Е, ако вземем максималните стойности, които всяка от тях може да има. тогава това ще бъде 17 плюс 5. Така че, това трябва да бъде по-малко (или равно) от 22 унции, а това ще бъде по-голямо или равно на... Е, кой е сценарият с минимална стойност? Ако имаш 15 унции тук и 3 унции тук, това прави 18 унции. И така, отбележи си, че сега дисперсията на сумата е по-голяма. Имаме размах на стойността на сбора равен на четири, докато размахът за всяка променлива беше само две. Погледнато по друг начин, тези горни и долни краища на интервала са по-далеч от средната стойност отколкото тези горни и долни краища на интервала са за съответните им средни стойности. Надявам се, това ти дава разбиране защо това има смисъл. Нека ти задам още един въпрос: какво ще стане с тази дисперсия... с тази дисперсия на X минус Y? В какъв интервал ще варира това? ще извадиш ли разликите на всяка от случайните променливи? Нека просто да направим същото упражнение. Да вземем X минус Y и помисли за тази разлика. Каква би била най-ниската стойност, която X минус Y може да приеме? Е, най-ниската стойност ще бъде, ако вземем минимума на X и максимума на Y. Това ще бъде 15 минус 5 или тук ще напишем точно 10. Това би било най-ниската стойност, която разликата може да приеме. А каква ще бъде най-високата стойност? Най-високата стойност ще се получи, когато имаш максимум Х и минимум Y, тоест 17 минус 3, което е 14. Така че, обърни внимание, точно както видяхме в случая със сумата, така и в разликата, дисперсията е нараснала. И тук също това означава, крайните стойности са още по-далеч от средната стойност на разликата. средната стойност на разликата ще бъде 16 минус 4, което е 12. Тези екстремни стойности са на разстояние 2 от 12. Направихме това само за да придобием някаква интуиция. Още веднъж, това не е стриктно доказателство. Всъщност се получава, че и в двата случая, когато вземеш дисперсията на X плюс Y или X минус Y, ще сумираш отделните дисперсии, ако приемем, че X и Y са независими променливи. Сега, след като обмислихме това, нека просто изчислим стандартното отклонение на X плюс Y. Знаем, че... Нека го напиша, използвайки сигма като означение. Друг начин на изписване на дисперсията на X плюс Y е да напишеш стандартното отклонение на X плюс Y квадрат и това ще бъде равно на дисперсията на X плюс дисперсията на Y. Сега, каква е дисперсията на X? Е, това е стандартното отклонение на X, повдигнато на втора степен или 0,8 квадрат. Това е 0,64, 0,64 Стандартното отклонение на Y е 0,6, Повдигаш го на квадрат, за да получиш дисперсията. Това е 0,36. Събираш двете и получаваш 1. Следователно дисперсията на сумата е 1. След това, ако вземеш корен квадратен, получаваш стандартното отклонение на сумата, което също ще бъде равно на 1. Това се получи така, понеже в случая, където корен квадратен от 1 си е пак 1. Е, надявам се, че този пример ще изгради някаква интуиция у теб, че независимо дали събираме или изваждаме независими случайни променливи, то дисперсията на сумата или разликата ще се увеличи. В следващото видео, ще се задълбочим в темата, придобивайки още интуиция, защо независимостта е важно условие, за да можем да направим това твърдение.