Процес на Поасон 1

Нека кажем, че си инженер по трафика и се опитваш да разбереш колко автомобила минават покрай определена точка на улицата във всеки даден момент от време? И искаш да намериш каква е вероятността сто автомобила да преминат, или 5 автомобила да преминат за определено време. Добър начин да започнем е да определим случайна променлива, която всъщност да представлява това, което ни интересува. Да кажем, че е броят автомобили, които минават за даден период от време, нека това е един час. Целта ни е да намерим вероятностното разпределение на тази случайна променлива, и тогава щом знаем вероятностното разпределение, ще можем да намерим каква е вероятността 100 коли да преминат за един час, или вероятността никакви коли да не преминат за един час, и тогава вече никой не може да ни спре. Още нещо, за да продължим нататък в това видео, трябва да приемем две неща, понеже ще разгледаме Поасоново разпределение. А за да го изучим, трябва да приемем две неща: че никой час в тази точка на улицата не е по-различен от никой друг час. Известно е, че има вероятност това да не е вярно. По време на един час пик в една реална ситуация вероятно ще има повече коли, отколкото в някой друг час пик. И знаеш, ако искаме да сме по-реалистични, може би го правим през деня, защото през деня всеки период от време... всъщност не. Не трябваше да визирам деня. Трябва да приемем, че всеки час изцяло прилича на другите часове и всъщност дори и в рамките на часа реално няма разлика от едната секунда до другата по отношение на вероятността за преминаване на един автомобил . Това е едно донякъде опростено предположение, което вероятно не е приложимо за трафика, но мисля, че можем да направим това предположение. А другото предположение, което трябва да направим, е това че ако определен брой коли преминават в даден час, това не означава, че по-малко на брой коли ще преминат през следващия. Че по никакъв начин броят коли, които минават през един период, не засяга или не е свързан, както и по никакъв начин не влияе на броя коли, които минават след това. Че те са напълно независими. Като ни е дадено това, можем поне да се опитаме да използваме уменията, които имаме, за да направим някакъв вид разпределение. Първото, което правим, а и бих го препоръчал за всякакво разпределение, е да изчислим средната стойност. Нека разгледаме тази крива и да измерим колко е тази променлива през различните часове, след което да я осредним, и ще имаме една добра оценка за действителната средна стойност на нашата генерална съвкупност. Или, щом това е една случайна променлива, ще имаме очакваната стойност на тази случайна променлива. Да кажем, че направим това, и получаваме най-добрата оценка за очаквана стойност на тази случайна променлива... ще използвам буквата ламбда. Например, може да има 9 коли на час. Там виждаме... може да са 9,3 коли на час. И си седим там в продължение на стотици часове, броейки колите на всеки час, и осредняваме броя на всички тях. Казали сме, че средно има 9,3 коли на час, и смятаме, че това е един доста добро число. И това е, което имаме тук. Да видим какво можем да направим. Познаваме биномното разпределение. Биномното разпределение ни казва, че очакваната стойност на случайната променлива е равна на броя опити, от които се състои тази случайна променлива, нали така? Преди, в минали клипове, брояхме броя ези-та при подхвърляне на една монета. Това тук ще е равно на броя подхвърляния, умножен по вероятността за успех при всяко хвърляне. Това направихме с биномното разпределение. Вероятно можем да моделираме нашата ситуация с трафика по подобен начин. Това е броят коли, които преминават за един час. Така че можем да кажем, че ламбда коли на час е равно на... не знам... Нека направим всеки опит или всяко подхвърляне на монетата да е равно на това дали в дадена минута минава една кола. В един час има 60 минути, затова опитите ще са 60. И тогава вероятността да имаме успех при всеки от тези опити, ако моделираме това като биномно разпределение, ще имаме ламбда върху 60 коли на минута. И това ще е вероятност. Това ще е n, а това ще е вероятността, ако кажем, че имаме биномно разпределение. И това вероятно няма да е лошо като приблизителна стойност. Ако всъщност тогава кажем, о, това е едно биномно разпределение, тогава вероятността нашата случайна променлива да е равна на някаква определена стойност k... например вероятността 3 коли, точно 3 коли да преминат в даден час, тогава ще е равно на n. Т.е. n ще е 60, избира k, и е известно, че имам 3 коли, умножено по вероятността за успех. Т.е. вероятността една кола да минава на всяка минута. И това ще е ламбда върху 60, на степен броя нужни успехи. Така че имаме на степен k, умножено по вероятността за неуспех, или това никакви коли да не минават, на степен n минус k. Ако имаме k успехи, то трябва да има 60 минус k неуспехи. Има 60 минус k минути, през които не е минала нито една кола. Това всъщност няма да е толкова лошо за приблизителна стойност, където са налице 60 интервала, и виждаме, че така имаме налице едно биномно разпределение. И вероятно ще получим смислени резултати. Но тук има един основен проблем. В този модел, където това сме го определили като биномно разпределение, какво се случва ако за един час минава повече от една кола? Или повече от една кола минава за една минута? Така, както сме го определили в момента, наричаме успех, ако една кола минава за една минута. И ако извършваме броене, това се брои като един успех, дори ако в тази минута минават 5 коли. Може би си казваш: "О, добре, Сал, тук решението ми е известно. Трябва просто да раздробявам малко повече нещата. Вместо да разделям на минути, защо да не го направя за секунди?" Така вероятността, при която имам k успехи... вместо 60 интервала, ще направя 3600 интервала. Така че вероятността за k успешни секунди, за една секунда една кола минава в продължение на 3600 секунди. Което е 3600 С k, умножено по вероятността една кола да мине във всяка дадена секунда. Това е очакваният брой коли за един час, разделен на броя секунди в един час. Ще имаме k на брой успехи. А това са неуспехите, вероятността за един неуспех, и ще имаме налице (3600 – k) на брой неуспехи. Това ще е дори по-добра приблизителна стойност. Това всъщност няма да е толкова лошо, но пак имаме тази ситуация, в която 2 коли могат да дойдат в рамките на половин секунда една след друга. И сега си казваш: "О, добре, Сал, виждам модела тук. Просто трябва все повече да раздробяваме." Един вид трябва това число да го направим по-голямо, и все по-голямо и по-голямо. Правилно ме разбра. А ако направиш това, полученото накрая ще представлява разпределение на Поасон. Наистина е интересно, защото много пъти ни е дадена формулата на Поасоновото разпределение, и можем да заместим числата и да го използваме. Но е добре да знаем, че в действителност това е биномно разпределение, а биномните разпределения реално са произлезли от здравия разум, дошъл при подхвърлянето на монети. Ето от тук идва всичко. Но преди да докажем това, ако вземем границата като – ще сменя цвета. Преди да докажем това, като вземем границата за това число тук, броят интервали клони към безкрайност, така това се превръща в Поасоново разпределение. Ще се уверя, че имаме подръка два математически инструмента. Първият представлява нещо, с което досега вероятно си се запознал/а, но искам само да се уверя, че границата при х, клонящо към безкрайност, от (1 + а/х) на степен х, е равна на е на степен ах... не, извинявам се. Равна е на е на степен а. И сега, за да ти докажа това, нека тук извършим едно малко заместване. Да кажем, че n е равно на... примерно, 1 върху n е равно на а върху х. И после колко ще е х? То ще е равно на na... х, умножено по 1, е равно на n, умножено по а. Така че за границата при х, клонящо към безкрайност, когато х клони към безкрайност, към какво ще клони а? а е... съжалявам. Когато х клони към безкрайност, към какво клони n? Ами n представлява х, разделено на а. Така че n също ще клони към безкрайност. И това ще е равно на направеното от нас заместване,. Границата при n, клонящо към безкрайност, от 1 плюс... а/х, при заместването става 1/n. А х е, по това заместване, n, умножено по а. И това тук ще е точно равно на границата, при n, клонящо към безкрайност, от (1 + 1/n) на степен n, всичко това на степен а. И след като тук няма n, можем просто да вземем границата на това, а след това да го повдигнем на степен а. Така че това ще е равно на границата, при n, клонящо към безкрайност, от (1 + 1/n) на n-та степен, цялото това на степен а. А това е нашето определение, или един от начините да достигнем до е, ако си гледал/а клиповете за сложна лихва и този материал. Ето как стигнахме до е. Ако опиташ това с твоя калкулатор, само опитай с по-големи и по-големи стойности за n тук, и ще стигнеш до е. Тази вътрешна част е равна на е, и я повдигнахме на степен а, така че тя е равна на числото е на степен а. Надявам се, че те удовлетворява факта, че тази граница е равна на е на степен а. И сега ми се иска да добавя още една полезна формула, а всъщност вероятно ще направя доказаталството следващия път. Тази друга формула, ще видим, че х факториел върху (х – k) факториел е равно на х, умножено по (х – 1), по (х – 2), и т. н., умножено по (х – (k + 1)). Много пъти сме смятали това, но то е най-абстрактният начин, по който някога сме го записвали. Ще ти дам два... само да видиш, че тук ще са налице точно k члена. 1, 2, 3 – така, първи член, втори член, трети член, и т.н., докато стигнем до k-тия член. Та това е важно за извеждането на Поасоновото разпределение. Но нека го направим с реални числа; ако имам 7 факториел върху 7 минус 2 факториел, това е равно на 7 пъти по 6, по 5, по 4, по 3, по 3, по 1. Върху 2, умножено по... не, извинявам се. 7 минус 2, това е 5. Така имаме върху 5, умножено по 4, по 3, по 2, по 1. Тези се съкращават и ни остава само 7 по 6. И така, тук имаме 7, а последният член е 7 минус 2 плюс 1, което прави 6. В този пример, k беше 2 и имахме точно 2 члена. Така че веднъж знаем ли тези две неща, вече сме готови да изведем Поасоновото разпределение, което ще направя следващия път. До скоро.