Процес на Поасон 2

Мисля, че сега разполагаме с всички нужни инструменти, за да продължим нататък, но нека само да преговорим малко наученото миналия път... Казахме, че се опитваме да намерим вероятностното разпределение на броя преминаващи коли в рамките на един час. А първото, което направихме, беше че се фокусирахме на това сечение и намерихме една много добра очаквана стойност на нашата случайна променлива. И тази случайна променлива, само да се върнем тук горе, дефинирахме случайната променлива като броя коли, които минават за един час в определена точка по даден път. Измерваме един сбор, определихме определен брой часове, и получихме доста добра оценка тук, и казваме, че това е ламбда. Още казахме, че искаме да направим биномно разпределение. И ако това е едно биномно разпределение, тогава тази ламбда ще е равна на броя опити, умножен по вероятността за успех при един опит. И така, ще разглеждаме един опит като интервал от време. Това е общият брой успехи за един час. А това ще е успехът в един по-малък интервал. Това пък ще е вероятността за успех в този по-малък интервал. И миналия път видяхме всичко това. Казахме: "А какво ще стане, ако направим този интервал на минута, а това е вероятността за успех на минута? Може би ще имаме разумно описание на това, което разглеждаме." А какво става, ако в рамките на една минута минава повече от една кола? И решихме да направим нещата тук за секунда и това да е вероятността за успех на секунда. Но тогава пак имаме проблема, че може повече от една кола да мине за една секунда. Затова искаме да намерим границата, когато това клони към безкрайност, и тогава да видим какъв вид формула получаваме от сметките. Ако опишем това като едно биномно разпределение с граница, клоняща към безкрайност, можем да кажем, че вероятността х да е равно на някакво число – т.е. вероятността нашата случайна променлива да е равна на 3 коли в един определен час, точно 3 коли на час – е равна на – о, искаме и това да имаме граница, която клони към безкрайност, нали така? Границата при n, клонящо към безкрайност, за n избира k. Ще имаме k моменти във времето, защото n клони към безкрайност, тези интервали стават много, мно-о-о-го малки. Стават моменти във времето. Ще се приближим до безкраен брой моменти, и това е броят успешни моменти, при които минават колите. Имаме 3 момента, при които е имало успех, където една кола е минала, и общо са минали 3 коли. Или 7 коли, 7 момента, за които е вярно това, че е минала една кола, и за един час ще имаме 7 преминали коли. Само да приключим с нашето биномно разпределение, n моменти, k успехи, умножено по вероятността за успех. Каква е вероятността за успех? Това може да е... Това тук ще е n. На какво е равно р? р е равно на ламбда, разделено на n, нали така? n, умножено по р, дава ламбда. Нека само запиша това. р е равно на ламбда, делено на n. Само пренаредих това тук. И нашата вероятност за успех излиза че е ламбда, умножена по n. И се пита каква е вероятността да имаме k на брой успехи. И после, каква е вероятността да имаме неуспех? Тя е 1 минус вероятността за успех. А колко неуспеха ще имаме? В колко момента няма да премине кола? Имаме общ брой събитийни моменти и k на брой от тях са успехи, така че ще имаме n минус k неуспехи. Нека видим тук какво можем да направим. Та това е равно на... нека препиша всичко това. И ще сменя цветовете. Границата за n, клонящо към безкрайност... нека напиша този биномен коефициент. Това е n факториел върху (n – k) факториел, умножено по k факториел. По принцип записвам това обратно, но и това е същото. Умножено по ламбда на степен k. Използвам свойствата на степените – върху n на степен k. И тогава този израз тук, мога всъщност да отделя показателите. Това е точно равно на 1 минус ламбда върху n, на степен n, умножено по 1 минус ламбда върху n, на степен минус k. Имаме същата основа, можем да съберем степенните показатели, и ще получим това тук горе. Нека опростя още малко. Нека разменя местата с тези две. И двете можем да разглеждаме като намиращи се в знаменателя. Така че можем да променим реда на делението и умножението, в зависимост от това как разглеждаме нещата. Това тук е равно на границата... ще сменя цветове. Границата при n, клонящо към безкрайност... не ми харесва този цвят. Всъщност, нека просто препиша направеното миналия път. Какво е това тук горе? Показахме го в края на миналото видео. n факториел, разделено на n минус k факториел. Имахме n, умножено по n минус 1, по n минус 2, и т.н. по n минус k плюс 1. Ако това е било 7 факториел върху (7 – 2) факториел, ще имаме 7, умножено по 6. И 6 е по-голямо от 7 минус 2. Така че ето откъде получихме това. Намерихме го в миналия клип, ако не разбираш нещо. Казахме също, че тук ще имаме точно k членове. И ако сме преброили тези като 1, 2, 3 - и т.н., тук ще имаме k члена. Погрижили сме се за това. Тук само преписахме. И казах, че ще преобърна тези двете, така че тук разделяме на n на степен k, умножено по... само разменям тези – ламбда на степен k върху k факториел. И тогава какво ни остава тук? Можем да препишем това. Продължавам същия ред. 1 минус ламбда върху n на степен n по 1 минус ламбда, върху n на степен минус k. Сега можем да намерим границата. Какво се случва, когато я намерим? Ако вземем границата, това е едно друго свойство, така че не се стряскай... още едно свойство на границите. Ако взема границата, при х, клонящо към нещо, имаме а от f от х, умножено по g от х. Това е равно на границата при х, клонящо към а от f(х), умножено по границата при х, клонящо към а от g(х). Така можем да вземем всяка от тези граници в произведението, и тогава да ги умножим, след което ще сме готови. Та нека го направим. Това тук горе ще го оставя. И най-напред, каква е тази граница? Нека я запиша. Ще избера хубав цвят – жълто. Имаме граница при n, клонящо към безкрайност. И това тук горе, това n, умножено по n минус 1, по n минус 2, и т.н. по n минус (k + 1), как ще изглеждат нещата? Ще имаме един многочлен, нали така? Умножаваме няколко... реално умножаваме няколко двучлена, като го правим k пъти. Така че членът с най-висока степен ще е n на степен k. Ще имаме n на степен k плюс нещо, умножено по n на степен k минус 1. Ще имаме този голям многочлен на степен k. И реално това е всичко, от което се нуждаем за извеждане на формулата. И ще имаме n на степен k плюс дрън, дрън, дрън, дрън, дрън, дрън, дрън – няколко други неща. Това тук, когато го разложим на множители, ей там – имаме това n на степен k, това е ето тази част. Умножено по границата – всъщност няма защо да се тревожим. Това е константа. И затова можем да изнесем това отпред. Дори не е нужно да пишем граница. Така, умножено по ламбда на степен k, върху k факториел. Тук няма n, така че по отношение на n това е константа. Умножено по границата при n, клонящо към безкрайност, от 1 минус ламбда върху n, на степен n, по 1 минус ламбда върху n, на степен минус k. Добре, знам, че това е нечетливо. Първо – каква е тази граница? Границата при n, клонящо към безкрайност от някакъв многочлен, в който имаме n на k-та степен плюс дрън, дрън, дрън, дрън. Където всички тези други членове са с по-ниска степен. Това е членът с най-висока степен. Имаме n на степен k в числителя, и n на степен k в знаменателя. Така че най-високите степени са еднакви. Коефициентите са 1, и затова тази граница е 1. Друг начин, по който можем да направим това, можем да разделим числителя и знаменателя на n на степен k, и ще получим... това ще е равно на 1 плюс 1 върху n плюс 1 върху... всичко друго ще има по 1 върху n вътре в себе си, и това ще е 1. И ако вземем границата при клонене към безкрайност, тогава всички тези членове ще са равни на нула, и ще останем с 1/1. Или пък, имаме същата степен отгоре и отдолу, и техните коефициенти са равни, и от там границата при n, клонящо към безкрайност от това 1, което е едно добро опростяване. Така че това, което ни е останало, е 1 по ламбда k върху k факториел. Каква е границата при n, клонящо към безкрайност от това тук? 1 минус ламбда върху n на степен n. А миналия път показахме, че това ще е... ще го напиша тук. Че границата при n, клонящо към безкрайност, от 1 плюс а върху n, на степен n, e равна на е на степен а. Това е същото, което имаме тук, но вместо а, имаме минус ламбда. И това ще е равно на е на степен минус ламбда. Имаме минус ламбда вместо а. И накрая, каква е границата при n, клонящо към безкрайност? Нека го напиша малко по-прилично. Преписвам този член. n минус ламбда върху n, на степен минус k. Какво се случва при n, клонящо към безкрайност? Този член ламбда е константа. Тъй като това клони към безкрайност, този член ще клони към нула. Така че имаме 1 на степен минус k. 1 на която и да е степен дава 1, и този член става 1. Така там имаме още една единица. Ето я. Готови сме. Вероятността нашата случайна променлива, броят коли, които преминават за един час, е равен на едно конкретно число. Ето, равно на 7 коли, които преминават за един час. Равно на границата при n, клонящо към безкрайност, от n избира k, умножено по... казахме, че това е ламбда върху n на степен k успехи, умножено по 1 минус ламбда върху n, на степен n минус k неуспехи. Също показахме, че това е равно на ламбда на степен k върху k факториел, умножено по е на степен минус ламбда. Което си е доста добре, защото когато го видим в нещо като вакуум, ако нямаме контекст за това, не бихме предполагали, че по някакъв начин е свързано с биномната теорема. Искам да кажа, че там съм получил едно е. То има един факториел, но в живота много неща са с факториели, така че не е ясно, че това ще го превърне в биномна теорема. Но това си е границата, като вземаме все по-малки и по-малки и по-малки интервали, и вероятността за успех намалява с намаляване на интервала. Но като вземем предвид границата, накрая имаме е. И ако помислим за това, има смисъл, защото едно от нашите извеждания на е всъщност излезе от сложна лихва, и там направихме нещо подобно. Взехме все по-малки и по-малки интервали при всеки и интервал увеличихме с много по-малко число. А когато вземем границата, пак получаваме е. И оттук всъщност дойде цялата тази формула, с която започнахме. Но както и да е, само да знаеш как използваме това. Та да кажем, че съм инженер по трафика, и установя, че средно около 9 коли преминават за един час. И искам да знам вероятността – така че това е моята очаквана стойност. За един час средно минават 9 коли. И искам да знам вероятността 2 коли да преминат за един час, точно 2 коли да преминат. Това ще е равно на 9 коли на час на втора степен, или на квадрат, на втора степен. Разделено на 2 факториел, умножено по е на степен минус 9. Това е равно на 81 върху 2, умножено по е на степен минус 9. И нека видим, може би трябва да извадя графичния калкулатор. Може ти да го направиш, за да разбереш резултата, но ще се видим следващия път.