Функции на плътност на вероятността

Миналия път въведохме понятието... всъщност реално започнахме със случайната променлива. След това преминахме към двата вида случайни променливи. Разгледахме дискретна случайна величина, която заема определен брой стойности. А тези тук... щях да кажа, че обикновено са цели числа, но това невинаги е задължително. Това е дискретна променлива, така че при такива конкретни стойности няма безкраен брой стойности за дадена дискретна случайна променлива. После имаме непрекъсната случайна променлива, която може да има безкрайен брой стойности. И примерът, който дадох за непрекъсната променлива, е следният: ако имаме една случайна променлива х... Но хората често използват "х"– ще го променя, за да видим, че може да я означим по друг начин, освен като х. Нека бъде случайната променлива главно Y. Тези променливи наистина се записват с главни букви. Тя е равна на точното количество дъжд през утрешния ден. Казвам "дъжд", понеже съм в Северна Калифорния. Всъщност в момента вали доста силно. Количеството валеж в момента е малко, което е хубаво. Дълго имаше суша, така че дъждът е хубаво нещо. Да се върнем на точното количество дъжд утре. И да кажем, че не знам каква е точната функция на вероятностното разпределение, но ще начертая една и тогава можем да разсъждаваме. За да може да видиш как се разсъждава относно непрекъснатите случайни променливи. Та нека начертая едно вероятностно разпределение, което още се нарича функция на вероятностна плътност. И чертаем по следния начин. Да кажем, че има... изглежда като нещо такова. Ето така. Добре, и сега не знам каква е височината тук. Тук абсцисната ос представлява количеството дъжд. Тук то е 0 инча, тук – 1 инч, тук – 2 инча, тук – 3 инча, 4 инча. И имаме някаква височина. Да кажем, че нейната максимална стойност тук е примерно, да кажем 0,5. И начинът, по който разсъждаваме, ако погледнем тук и ако те попитам каква е вероятността Y – понеже това е нашата случайна променлива – Y да е точно равно на 2 инча? Y да е точно два инча. Каква е вероятността това да се случи? Според това как разглеждаме функциите на вероятностно разпределение на дискретната случайна променлива, ще кажеш: "Добре, нека видим. 2 инча, това е случаят, който ни интересува в момента. Нека отида тук горе. Виждаме, че височината е около 0,5. Ще попиташ: "Какво означава 0,5 вероятност?" Аз ще отговоря: "Не, не е 0,5 вероятност." И преди изобщо да опитаме да разтълкуваме нещата визуално, нека най-напред помислим логически. Каква е вероятността утре да има точно 2 инча дъжд? Не 2,01 инча дъжд, нито 1,99 инча. Нито 1,99999 инча дъжд, нито 2,000001 инча. Точно 2 инча дъжд. Имам предвид, че няма дори една единствена водна молекула повече над тези 2 инча. Както и няма дори една водна молекула под отбелязаните 2 инча. Всъщност е 0, нали така? За теб може да не е много очевидно, защото вероятно си чувал/а, че "Снощи паднаха 2 инча дъжд." Но нека помислим – точно 2 инча ли са? По принцип, ако количеството е 2,01, всеки ще го определи като 2. Но ние казваме, че това не се брои. Не може да са 2,01 инча. Търсим точно 2. 1,99 не се брои. По принцип при нашите измервания дори нямаме методи, които могат да ни кажат, че това са точно 2 инча. Няма линия, за която можем да кажем, че е дълга точно 2 инча. В определен момент, при начина на производство, тук и там ще е налице още един атом повече. Така че вероятността нещо да е с точно определен размер, с точност до десетичната запетая, всъщност е нулева. Начинът, по който можем да разглеждаме непрекъснатата случайна променлива – примерно можем да попитаме каква е вероятността Y да е приблизително 2? Т.е. какво става ако кажем, че абсолютната стойност на Y минус 2 е по-малка от някакво допустимо отклонение? Примерно по-малка от 0,1. Ако това не ти е ясно, по същество тук се пита каква е вероятността Y да е по-голямо от 1,9 и по-малко от 2,1? Тези две твърдения са равносилни. Можеш малко да помислиш по въпроса. Но сега това започва да придобива някакъв смисъл. Тук вече имаме интервал. Така че търсим всички стойности на Y между 1,9 и 2,1. Един вид говорим за цялата тази област. Която е ключова. И ако искаме да знаем вероятността това да се случи, всъщност търсим площта под тази крива, от тази точка до тази точка. Който е учил висша математика, знае, че това представлява определен интеграл от тази функция на вероятностната плътност, от тази точка до тази точка. Така че тук... да видим, тук долу ми е свършило мястото. Да кажем, че ако тази графика – нека я начертаем в различен цвят. Ако тази права е определена от... ще го наречем f от х. Мога да го означа и с р от х, или по други начини. Вероятността това да се случи ще е равна на интеграла, за тези, които са учили висша математика, интеграла от 1,9 до 2,1 от f oт х, dx. Приемаме, че това е абсцисната ос. Много е важно да разберем това. Понеже когато дадена случайна променлива може да заеме безкрайно голям брой стойности, или всяка една стойност в рамките на един интервал, за да получим една точна стойност, примерно 1,999, вероятността всъщност е 0. Това е все едно да ни попитат колко голяма е площта под една крива точно на тази права. Или дори по-конкретно, все едно да ни попитат каква е площта на дадена права. Площта на дадена права, ако начертаем правата, ще кажем, че тази площ се намира, като умножим височината по основата. Височината има някаква стойност, но основата, каква е широчината на една права? По определение правата няма широчина, следователно няма лице. Това си е логично. Тогава вероятността да се случи нещо с изключителна точност е почти 0. Така че реално трябва да попитаме каква е вероятността да доближим 2? И тогава можем да определим дадената площ. И ако се запиташ каква е вероятността да сме някъде между 1 и 3 инча дъжд, тогава, естествено, вероятността е много по-голяма. Има много по-голяма вероятност. Ще имаме всичко това. Може да попиташ също каква е вероятността да имаме по-малко от 0,1 дъжд. Тогава ще дойдем тук, и ако имаме 0,1, ще пресметнем тази площ. Може да запитаме също каква е вероятността утре да имаме повече от 4 инча дъжд. Тогава ще започнем оттук и ще пресметнем областта под кривата до безкрайност, ако кривата има някакво лице до към безкрайност. И надявам се, че това не е някакво безкрайно голямо число, нали? Тогава нашата вероятност няма да има никакъв смисъл. Но ако намерим този сбор, стигаме до някакво число. И ще кажем, че има само 10% възможност утре да има повече от 4 инча валежи. И от всичко казано, веднага трябва да ни просветне, че вероятността за всички възможни събития, не може да е над 100%. Нали така? За всички събития общо имат вероятност 1 някое от тези събития да се случи. Така че всъщност цялата площ под тази крива трябва да е равна на 1. И ако вземем интеграла от f от х, dx, от 0 до безкрайност, това тук, поне както съм го начертал, трябва да е равно на 1. За тези от вас, минали курса по висша математика. За тези от вас, които не са го учили, интегралът представлява площта под кривата. Можеш да гледаш клиповете с висша математика, ако искаш да научиш малко повече за това как се решават такива задачи. Това е приложимо и при дискретните вероятностни разпределения. Нека начертая едно такова. Сборът от всички вероятности трябва да е равен на 1. Онзи пример със зарчетата – или, да кажем, понеже по-бързо се чертае, с монетите – сборът на двете вероятности трябва да е равен на 1. Та това тук е 1 и 0; като х е равно на 1 при ези-та, или на 0, ако страните са тура. Всяка вероятност е 0,5. Или не е нужно да е 0,5, но ако едното е 0,6, другото би трябвало да е 0,4. Те трябва да имат сбор 1. Ако едно от тези тук беше – не е възможно да имаме 60% вероятност да имаме ези-та, а след това 60% да имаме тура. Защото тогава ще имаме вероятност от 120% за двата резултата, а това въобще няма смисъл. Т.е. важно е да разберем, че една функция на вероятностно разпределение в този случай на дискретна случайна променлива, сборът на всички тези трябва да е 1. Тук е 0,5 плюс 0,5. И в този случай площта под функцията на вероятностната плътност също трябва да е равна на 1. Както и да е, засега това беше от мен. Следващия път ще въведем понятието очаквана стойност. Ще се видим скоро.