Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна величина

В предишно видео дефинирахме тази случайна променлива Х. Тя е дискретна случайна променлива. Може да приеме само ограничен брой стойности и я дефинирах като броя тренировки, които може да направя за седмица. Пресметнахме математическото очакване Е(Х) нашата случайна променлива Х, което също можем да наречем и средна стойност на Х, използваме и гръцката буква "мю", която използваме за средна стойност на генерална съвкупност. Това е вероятностно претегления сбор за различните резултати. За тази случайна променлива с това вероятностно разпределение имаме математическо очакване или средна стойност от 2,1. Сега ще разширим тази идея до измерване на дисперсията. И ще помислим каква е дисперсията на тази случайна променлива и после можем да намерим корен квадратен от това, за да намерим какво е стандартното отклонение. Начинът, по който ще направим това, има общо с начина, по който пресмятахме дисперсията в миналото. Дисперсията на нашата случайна променлива Х... ще вземем разликата между всеки резултат и средната стойност, ще повдигнем тази разлика на квадрат и после ще умножим по вероятността на този резултат. Например за тази първа точка информация, ще имаш (нула минус 2,1) на квадрат по вероятността да получиш нула, по 0,1. После ще получиш плюс (1 – 2,1) на квадрат по вероятността да получиш едно, по 0,15. После ще имаш плюс (2 – 2,1) на квадрат по вероятността да получиш две, по 0,4. После имаш плюс (3 – 2,1) на квадрат по 0,25. Последно, но не и по важност, имаш плюс (4 – 2,1) на квадрат по 0,1. Отново, намираме разликата между всеки резултат и средната стойност, повдигаме я на квадрат и умножаваме по вероятността за този резултат. Това ще е –2,1 на квадрат, което е само 2,1 на квадрат, така че записвам това като 2,1 на квадрат по 0,1. Това е първият член. После ще имаме плюс... 1 минус 2,1 е –1,1 и ще повдигнем това на квадрат, така че е равно на 1,1 на квадрат, което е 1,21 и засега просто ще го запиша като 1,1 на квадрат по 0,15. После това ще е 2 – 2,1 и това е –0,1. Когато го повдигнеш на квадрат ще е равно на плюс 0,01. Ако имаш –0,1 по –0,1, това е 0,01... по 0,4. После, плюс, това ще е 0,9 на квадрат и е 0,81 по 0,25. Почти сме готови. Това ще е плюс 1,9 на квадрат по 0,1. Получаваме 1,19. Всичко това ще е равно на 1,19. Ако искаме да получим стандартното отклонение за тази случайна променлива, ще отбележим това с гръцката буква "сигма". Стандартното отклонение за случайната променлива Х ще е равно на корен квадратен от дисперсията. Корен квадратен от 1,19 е равно на... нека отново извадим калкулатора, за да намерим корен квадратен от това, което... нека го напишем отново...1,19. Това ни дава приблизително 1,09. Приблизително 1,09. Да видим дали това е логично. Нека поставя това на числова ос тук. Имаш резултата нула, едно, две, три и четири. Имаш 10% шанс да получиш нула. Ще нарисувам това така, да кажем, че това е височина от 10%. Имаш 15% шанс да получиш едно, като това ще е 1 1/2 пъти по-високо. Ще изглежда така. Имаш 40% шанс да получиш две. Това ще е ето така. Имаш 40% шанс да получиш две. Имаш 25% шанс да получиш три. Ето така. После, имаш 10% шанс да получиш четири. Ето така. Това е визуализация на разпределението на тази дискретна вероятност, като не нарисувах вертикалната ос тук, но това ще е 0,1 и това ще е 0,15. Това ще е 0,25 и това ще е 0,4. После ще видим, че средната стойност е при 2,1. Средната стойност е при 2,1 и това е логично. Въпреки че тази случайна променлива приема само стойности от цели числа, може да имаш средна стойност, която не е цяло число. Стандартното отклонение е 1,09. Тоест 1,09 над средната стойност ще ни доближи до 3,2 и 1,09 под средната стойност ще ни доближи до едно. Това изглежда логично. Тази средна стойност изглежда показателна за централната тенденция на това разпределение. Стандартното отклонение изглежда като добро измерване на разсейването.