Пример: Трансформация на дискретна случайна променлива

"Ануш играе на играта "Карнавал", която включва две свободни хвърляния. Таблицата по-долу показва вероятностното разпределение на Х, броя на хвърлянията, при които Ануш уцелва при поредица от два опита, заедно с някои обобщителни статистики." Това е случайната променлива Х и тя е дискретна случайна променлива. Може да приеме само ограничен брой стойности, понякога можеш да кажеш, че приема изброим брой стойности. Можем да видим, че когато прави две свободни хвърляния, той ще уцели нула, или едно, или две от тях. Вероятността да уцели нула пъти е тук, за един път е тук, за два пъти е тук. После ни дават и средната стойност за Х, и стандартното отклонение на Х. Казват ни: "Ако Ануш трябва да плати 15 долара, за да играе, и печели по 10 долара на всяко хвърляне, с което уцели, какви са средната стойност и стандартното отклонение на чистата му печалба от неговото представяне, N? Нека дефинираме нова случайна променлива – N. Тя е равна на чистата му печалба. Чиста печалба. Можем да дефинираме N според Х. Каква ще е чистата му печалба? Да видим, N ще е равно на 10 пъти по колкото хвърляния уцели. Ще е 10 по Х. После, без значение от това, той трябва да плати 15 долара, за да играе. Минус 15. Всъщност, можем да направим таблица тук за вероятностното разпределение на N. Нека я направим тук. Ще я направя да изглежда точно като тази. N е равно на чистата печалба. Тук имаме вероятността за N. Тук има три резултата. Резултатът, който се отнася към нула уцелени хвърляния, като това ще е 10 по нула минус 15. Това ще е чиста печалба от –15. Това ще има същата вероятност, 0,16. Когато той уцели при едно хвърляне, чистата печалба ще е 10 по едно минус 15, което е –5. Това ще има същата вероятност. Той има 48% шанс да уцели при едно хвърляне. Това е 48% вероятност да загуби пет долара. Последно, но не и по важност, когато Х е две, чистата му печалба ще е +5. +5. Това е 0,36 вероятност. Искат да намерим какви се средната стойност и стандартното отклонение на чистата му печалба? Нека първо намерим средната стойност на N. Ако умножиш една случайна променлива с дадено число, съответната средна стойност ще е умножена със същото число. Ако прибавиш към случайна променлива дадено число, съответната средна стойност ще се измени със същото число. Тоест, средната стойност на N ще е 10 по средната стойност на Х минус 15. Това е равно на 10 по 1,2 минус 15. 1,2. Това е 12 минус 15, което е равно на –3. Стандартното отклонение на N ще е малко по-различно. Умножаването има значение за стандартното отклонение. Ако умножиш една случайна променлива по определена стойност, ще умножиш стандартното отклонение по същата стойност. Това ще е равно на 10 по стандартното отклонение на Х. Може да се запиташ какво ще се случи при увеличаване или намаляване. Увеличаването или намаляването няма да засегне разсейването на случайната променлива. Ако умножиш случайната променлива, разсейването трябва да нарасне по числото, с което умножаваш. Но увеличаването или намаляването не засяга разсейването около средната стойност. Стандартното отклонение е засегнато само от умножаването, но не и от намаляването или увеличаването. Това ще е 10 по 0,69 и то е... Това е приблизително изчисляване. Ще кажа, че това е приблизително 6,9. Това е новото разпределение на чистата печалба. Това е средната стойност на чистата печалба. Това е приблизително стандартното отклонение на чистата печалба.