Условия за нормалност за извадкови разпределения на извадкови части

В това видео ще помислим при какви условия извадковото разпределение на дяловете в извадките изглежда приблизително като нормално разпределение (чертае със синьо) и в какви случаи изглежда изкривено отдясно, т.е. изглежда по такъв начин (чертае с червено). И при кои условия ще изглежда изкривено отляво, може би нещо подобно (чертае с оранжево). При условията, за които ще говорим, можем да приложим принципно правило. Условията са: 1) ако вземем размера на извадката и умножим по дела от генералната съвкупност, който ни интересува, и произведението е по-голямо или равно на 10; и 2) ако вземем размера на извадката и го умножим по едно минус дела от извадката и това произведение също е по-голямо от или равно на 10. Ако тези две условия са верни, принципното правило ни казва, че графиката на извадковото разпределение на дела от извадката ще има приблизително нормална форма. Имайки това правило наум, нека разгледаме няколко примера. Първият пример гласи: Емилияна е управител на ресторант, в който получават доставка на 50 мандарини всеки ден. Според доставчика приблизително 12% от генералната съвкупност на тези мандарини е презряла. Да приемем, че Емилияна изчислява дневния дял на презрели мандарини в нейната извадка от 50. Можем да допуснем, че твърдението на доставчика е истина и че мандарините за деня представляват случайна извадка. Каква ще бъде формата на извадковото разпределение? Каква ще бъде формата на извадковото разпределение на дневните дялове от презрели мандарини? Спри видеото, помисли върху това, за което говорихме досега, и виж дали ще се справиш без помощ. Добре, тук получаваме дневни извадки от по 50 мандарини. За този конкретен пример n е равно на 50 и дялът в генералната съвкупност, дялът на презрелите е 12% – значи p е 0,12. Ако умножим n по p, какво ще получим? n*p ще бъде 50 пъти 0,12. 100 по това ще е равно на 12, значи 50 по това ще бъде равно на 6. А това е по-малко от 10. Това веднага нарушава първото условие и така знаем, че не става въпрос за нормално разпределение. Въпросът е как ще бъде изкривено разпределението? Ключовото тук е да помним, че средната стойност на извадковия дял или на извадковото разпределение на извадковия дял или средната стойност на извадковото разпределение на дневните дялове ще бъде същото нещо като дялът на генералната съвкупност. Значи средната стойност ще бъде 12%. Ако трябва да го начертаем, аз ще го начертая ето тук. Това е 50%, а това е 100%. Средната стойност ще бъде тук при 12%. И тук в началото графиката ще бъде много високо и после ще бъде изкривено отдясно. Ще има голяма, дълга опашка. Значи тази графика ще бъде изкривена отдясно. Нека направим още един пример. Тук условието е: Според проучване на Нийлсен, радиото достига 88% от всички деца всяка седмица. Ако правим седмична случайна извадка от n = 125 деца от тази генерална съвкупност и изчислим дела на децата във всяка извадка, които биват достигнати от радио. Каква ще бъде формата на извадковото разпределение на дела от деца, които са достигнати от радио? За втори път спри видеото и опитай без чужда помощ. Добре, нека видим на какво са равни n и p. Размерът на извадката n е равен на 125. Делът в генералната съвкупност на децата, които са достигнати от радио всяка седмица е 88% или p = 0,88. Нека изчислим n*p. n = 125, а p = 0,88. Дали произведението ще бъде по-голямо от 10? Дори няма нужда да го изчисляваме с точност. Това е почти 90% от 125. Резултатът всъщност ще бъде по-голям от 100. Значи със сигурност ще е и по-голям от 10. Т.е. изпълнихме първото условие. Ами второто? Можем да вземем n, което е 125, умножено по едно минус p. Значи умножено по 0,12. Това е 12% от 125. Е, дори 10% от 125 ще бъде 12,5. Следователно 12% със сигурност ще бъде по-голямо, т.е. произведението ще бъде по-голямо от 10. Нямаше дори нужда да го изчислявам. Успях да намеря приблизителните стойности. Е, изпълнихме и второто условие. Въпреки, че делът от генералната съвкупност е доста висок, доста е близо до едно, тъй като размерът на извадката е толкова голям разпределението ще бъде относително нормално. Нека начертаем графиката, за да придобием малко интуиция за това. Нека тук е дял нула, нека тук е 50%, а тук е 100%. Нашата средна стойност ще бъде 0,88 за извадковото разпределение на дела от извадката. Ако имахме малък размер на извадката, то стандартното отклонение щеше да бъде относително голямо и тогава щеше да се получи изкривено отляво разпределение. Но както видяхме и по-рано, колкото е по-голям размерът на извадката, толкова по-малко е стандартното отклонение на извадковото разпределение. Това на практика "свива" или "прибира" стандартното отклонение и по този начин разпределението ще изглежда по-нормално. Ще изглежда по-близко до нормално разпределение. Нека кажем приблизително нормално разпределение, защото отговаря на условията на това принципно правило. Ще бъде ли перфектно нормално? Не. Всъщност ако нямахме това принципно правило, за да правим някакво разграничение, някои хора биха казали, че тук всъщност имаме по-дълга опашка отляво, отколкото отдясно, може би леко скосено отляво. Но използвайки тази граница, това принципно правило, което е стандартно в статистиката, това разпределение ще се разглежда като приблизително нормално.