Използване на формулата за функцията тангенс на сбор на два ъгъла

В това видео ще се опитаме да пресметнем колко е тангенс от 13 по пи върху 12, като не ползваме калкулатор. Ще ти дам няколко подсказки. Първо, можем да представим тангенс от 13 по пи, върху 12 като тангенс от – вместо 13 по пи върху 12 можем да представим ъгъла чрез ъгли, за които можем лесно да изчислим тангенса само въз основа на това, което знаем за единичната окръжност. 13 по пи, върху 12 е равно на 15 по пи, върху 12 минус 2 по пи, върху 12, което е равно на тангенс от 5 по пи, върху 4, минус пи върху 6, или даже можем да го представим като плюс минус пи върху 6. Това е моята подсказка. Постави видеото на пауза и се опитай да продължиш този начин на разсъждение, за да изчислиш стойността на тангенс от 13 по пи, върху 12, без да използваш калкулатор. А сега да продължим заедно. Вече знаем стойността на тангенс от сбора на два ъгъла. Доказвали сме го в друго видео. Знаем, че това ще е равно на тангенс от първия от двата ъгъла, 5 по пи, върху 4, плюс тангенс от втория от двата ъгъла, тангенс от минус пи върху 6, всичко това е върху 1 минус тангенс от първия от двата ъгъла, тангенс от пет по пи върху 4, по тангенс от втория от двата ъгъла, тангенс от минус пи върху 6. Сега можем да разделим нашите единични окръжности, за да видим какви са тези стойности. Предварително съм си подготвил единични окръжности. Първо да разгледаме какво представлява ъгъл пет по пи върху 4. Пи върху 4 – може би се досещаш, че това е ъгъл от 45 градуса. Ето това тук е ъгъл пи върху 4. (показва на чертежа) Две по пи върху 4 ще бъде ето тук. Три по пи върху 4 идва ето тук. 4 по пи върху четири, което е равно на пи, ни отвежда ето тук. Пет по пи върху 4 ще ни доведе точно ето тук. Може би вече се досещаш, че тангенсът от даден ъгъл е наклонът на радиуса, така че вероятно се досещаш вече по логически път, че тангенсът тук ще е 1, но можем да използваме и това, което знаем за триъгълника в единичната окръжност, за да намерим това, ако все още не се досещаш. Тук трябва да определим координатите на тази точка ето тук, (означава точката от окръжността) като за целта можем да построим един правоъгълен триъгълник, който вероятно веднага разпознаваш като триъгълник с ъгли 45-45-90 градуса. Откъде знаем това? Ами пи върху 4, спомни си, че се завъртаме с ъгъл 4 по пи върху 4, за да дойдем тук, след това имаме още едно пи върху 4, за да дойдем тук долу. Значи този ъгъл ето тук е пи върху 4, който е равен на 45 градуса. Разбира се, ако това са 45 градуса, а това са 90 градуса, тогава това трябва да са 45 градуса, защото те се допълват до 180 градуса. За триъгълник от този вид съгласно питагоровата теорема, ако дължината на хипотенузата е единица, всеки от двата катета е с дължина корен квадратен от две върху две по хипотенузата. Това е корен квадратен от две, върху 2 и това е корен квадратен от две, върху две. Ако разглеждаме координатите, координатата х е равна на корен квадратен от 2, върху 2, в отрицателна посока. Значи нашата координата х е минус корен квадратен от две, върху 2, а координата у е корен квадратен от 2, върху 2 надолу, така че това също е минус корен квадратен от 2 върху 2. Тангенс ще бъде просто координатата у върху координатата х. Така че тангенсът е равен на минус корен квадратен от две, върху 2, върху минус корен квадратен от две, върху две. Това дава единица, както предположихме логически. Значи можем да напишем, че тангенс от пет по пи, върху 4 е равно на едно. А какво да кажем за минус пи върху 6? Минус пи върху 6 – вероятно се досещаш, че пи върху 6 е ъгъл от 30 градуса. Пи радиана са 180 градуса, така че делено на 6 това дава 30 градуса, и минус пи върху 6 ще бъде 30 градуса под положителната част на оста х. Ще изглежда ето така. Както вече казах, този ъгъл ето тук е пи върху 6, което можем да разглеждаме и като ъгъл 30 градуса. Ако спуснем тук един перпендикуляр, вероятно веднага се досещаш, че това е триъгълник с ъгли 30-60-90 градуса. Знаем, че ако хипотенузата е с дължина единица, тогава страната, която лежи срещу ъгъла от 30 градуса е с дължина 1/2 от дължината на хипотенузата. По-дългият катет е с дължина корен квадратен от 3 по по-късата страна, значи корен квадратен от 3, върху 2. Така координатите ето тук – придвижваме се с разстояние, равно на квадратен корен от 3, върху 2 в положителната посока на оста х, корен квадратен от 3, върху 2, а после с минус 1/2 по посока у, така че тук записвам минус 1/2. Сега виждаме, че нашият тангенс от минус пи върху 6 е равен на минус 1/2 върху корен квадратен от 3, върху 2, което е равно на минус 1/2 по... ще го напиша по следния начин – минус 1/2 по две, върху корен квадратен от 3, което е равно на минус 1 върху корен квадратен от 3. Това ето тук е 1. (показва на екрана горе вдясно) Видяхме ето тук, че това тук е 1. После това ето тук е минус 1 върху корен квадратен от 3. После това е минус 1 върху корен квадратен от 3. Мога да запиша, че този целият израз е равен на 1 минус 1 върху корен квадратен от 3, всичко това върху 1... После имаме минус тук и минус ето тук, така че това става минус по минус, което дава 1, плюс 1 върху корен квадратен от 3. Ако умножа и числителя, и знаменателя по корен квадратен от 3, тогава в числителя получаваме корен квадратен от 3, минус 1, а в знаменателя получаваме корен квадратен от 3, плюс 1. И така без калкулатор изчислихме стойността на този тангенс от 13 по пи върху 12.