Използване на формулата за функцията косинус от сбор на два ъгъла

Тук имаме триъгълник ABC. Изглежда като правоъгълен триъгълник и можем да потвърдим, че е такъв, защото удовлетворява питагоровата теорема. 8 на квадрат е 64, плюс 15 на квадрат – 225; 64 плюс 225 е 289, което е 17 на квадрат. Тоест удовлетворява питагоровата теорема. Следователно знаем, че това тук е правоъгълен триъгълник. Но от нас се иска да намерим косинус от ъгъл АВС, който е този ъгъл тук, плюс 60 градуса. Просто така нямам никакъв ясен начин, по който да го намеря, но можем да използваме някои от тригонометричните тъждества, които знаем, за да изразим това по начин, така че евентуално да можем да го изчислим. По-точно знаем, че косинус от (а плюс b) е равно на косинус от а по косинус от b, минус синус от a по синус от b. Можем да направим същото и с косинус от (ъгъл АВС плюс 60 градуса). Това ще е равно на – нека запиша всичко – на косинус от ъгъл АВС по косинус от 60 градуса минус синус от ъгъл АВС по синус от 60 градуса. Това тук е ъгъл АВС. Това тук също е ъгъл АВС. А тези са по 60 градуса. Нека пресметнем всяко от тези неща. На какво ще е равен косинус от ъгъл АВС? Ще напиша това ето тук. Косинус от ъгъл АВС – можем да се върнем към 'soh-cah-toa'. Нека го запиша. Косинус е определен като прилежащ катет към хипотенуза. За този ъгъл (АВС) те са СВ и АВ съответно. Тоест косинус от ъгъл АВС е равен на 15 върху 17. Следователно това тук е 15 върху 17. Колко е косинус от 60 градуса? Тук трябва да се върнем към това, което знаем за триъгълници с ъгли 30, 60 и 90 градуса. Ако имаме такъв триъгълник, ще опитам да го начертая възможно най-добре. Правоъгълен триъгълник с ъгли 30, 60 и 90 градуса. Това е 60 градуса, а това е 30 градуса. Знаем, виждали сме това много пъти, че ако хипотенузата е с дължина 1, страната срещу 30-те градуса е 1/2. Страната срещу 60-те градуса е корен квадратен от 3 по това. Тоест е корен квадратен от 3 върху 2. Следователно косинус от 60 градуса – ако гледаме тази страна тук; ще взема цвят, който не съм използвал още. Така, интересува ме косинус от 60 градуса. Косинус от 60 градуса ще е равен на – още веднъж – прилежащия катет върху хипотенузата, или 1/2 върху 1. Ще е равно на 1/2 върху 1, което е 1/2. Сега, да помислим за синуса. Да помислим за синуса от ъгъл АВС. Тоест ето това тук. Ето го триъгълникът ни. Синусът е срещулежащ катет към хипотенуза. Срещулежащият катет е с дължина 8, върху хипотенузата, която е 17. Следователно е равно на 8 върху 17. И накрая трябва да открием колко е синус от 60 градуса. За ъгъла от 60 градуса на този правоъгълен триъгълник това е срещулежащ катет към хипотенуза. Имаме корен квадратен от 3 върху 2 върху 1, което е просто корен квадратен от 3 върху 2. Значи имаме цялата информация, която ни трябва, за да изчислим това. Това беше синус от 60 градуса. Всичко това ще се сведе до косинус от ъгъл АВС, което е 15 върху 17, по косинус от 60 градуса, което е 1/2, следователно по 1/2; и после ще извадим синус от АВС, което е 8 върху 17. И после, по синус от 60, което е корен квадратен от 3 върху 2. По корен квадратен от 3 върху 2. И сега трябва само малко да го опростим. Това ще е равно – ако умножа това по 1/2, ще бъде 15 върху 34 минус – делим на 2, и получаваме 4/17. Ще запиша това 4 по корен от 3 върху 17. Това е възможно най-опростено. Ако искам, мога да приведа под общ знаменател от 34 тук. После мога да добавя това 2 и да имам: 8 по корен квадратен от 3 върху 34 но това не опростява нещата много. Така че това е достатъчно добър отговор на въпроса им. 15 върху 34 минус 4 по корен квадратен от 3 върху 17.