Доказване на синусовата теорема

Сега ще докажа синусовата теорема. Ще начертая произволен триъгълник. Това е едната страна. Това е другата страна. Ще го направя малко по-странен, за да разбереш, че се отнася за всеки триъгълник. Дадена ни е следната информация. Известен ни е този ъгъл... Всъщност няма да казвам какво знаем или не знаем, но синусовата теорема е просто връзката между различните ъгли и страни. Да речем, че този ъгъл тук е алфа. Тази страна тук е А. Дължината тук е А. Да речем, че този ъгъл тук е бета и тази дължина тук е В. Бета е просто В с дълъг край ето тук. Да видим дали можем да намерим връзката между А и В и алфа и бета. Какво можем да направим? Надявам се, че връзката, която ще открием ще е синусовата теорема. Иначе ще трябва да преименувам това видео. Ще спусна една височина тук. Мисля, че това е точният термин. Спускам отсечка от този ъгъл право надолу и тя е перпендикулярна на долната страна, която не съм кръстил още, но ако трябва да го сторя, вероятно ще бъде С, защото това са А и В. А това ще бъде ъгъл от 90 градуса. Не знам дължината на това. Не знам нищо за него. Знам само, че от този връх спуснах отсечка, перпендикулярна на тази страна. Какво можем да направим с тази отсечка? Да речем, че тя има дължина х. Дължината на тази отсечка е х. Можем ли да намерим връзката между А, дължината на тази отсечка, х, и бета? Да, разбира се. Да видим. Нека намеря подходящия цвят. Мисля, че това е добър цвят. Така, каква е връзката? Ако погледнем този ъгъл тук, бета, х е срещулежащ катет за него, а А е хипотенузата, тъй като това тук е правоъгълен триъгълник. И на какво е равно отношението между срещулежащия катет и хипотенузата? При тригонометричните задачи е полезно да си записваме soh cah toa в горната част на страницата. И кое се занимава със срещулежащия катет и хипотенузата? Синусът, нали? Soh (синус = срещулежащ катет върху хипотенуза) Логично, след като доказвам синусовата теорема. Така, синус от бета е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата. Равен е на срещулежащия катет, х, върху хипотенузата, А. Сега да намерим х, защото ще ни е от полза по-късно. Да умножим двете страни на това уравнение по А и получаваме: А по синус от бета е равно на х. Супер. Това ни помогна в известна степен. Сега да видим дали можем да намерим връзката между алфа, В и х. По подобен начин, да разгледаме този правоъгълен триъгълник... да, разбира се, това също правоъгълен триъгълник. х тук, по отношение на алфа, също е срещулежащ катет, а В е хипотенузата. Можем да запишем в различен цвят и че синус от алфа е равно на срещулежащият катет върху хипотенузата. Срещулежащият катет е х, хипотенузата е В. Нека отново да намерим колко е х. Умножаваме двете страни по В и получаваме 'В' по синус от алфа е равно на х. Какво имаме сега? Имаме два различни начина, по които намерихме височината х. Имаме, че А по синус от бета е равно на х. и че В по синус от алфа е равно на х. Ако и двете са равни на х, тогава са равни и едно на друго. Нека го запишем. Ще запиша това в по-мек цвят. Знаем, че А по синус от бета е равно на х, което е също равно на В по синус от алфа. Ако разделим двете страни на уравнението на А, какво получаваме? Получаваме синус от бета, защото двете А се унищожават, е равно на В по синус от алфа върху А. Ако разделим двете страни на уравнението на В, получаваме синус от бета върху В е равно на синус от алфа върху А. А това е синусовата теорема. Отношението между синус от бета и срещулежащия катет, в случая В, е равно на отношението на синус от алфа и нейния срещулежащ катет. Ако този ъгъл е тита, а това С, в много учебници пише, че това също е равно на синус от тита върху С. Доказателството ще е идентично. Избрали сме В произволно, можехме да направим същото с тита и С, но вместо да спускаме височината тук, щяхме да спуснем една от другите височини. Мисля, че тази част е ясна. Важното е, че имаме това отношение. И тъй като е отношение, можем да разменим двете страни на отношението и да запишем В върху синус от бета е равно на А върху синус от алфа. Това върши работа, защото ако знаеш единия катет и срещулежащия ъгъл и ако знаеш другия катет, тогава можеш да намериш неговия срещулежащ ъгъл. Ако знаеш три от тези неща, можеш да намериш четвъртото. Ето затова е полезна синусовата теорема. След това ще реша няколко текстови задачи със синусова теорема. Ще се видим в следващото видео.