Основно съдържание

Тригонометрия

Курс: Тригонометрия > Раздел 1

Урок 7: Реципрочните тригонометрични отношения

Реципрочни тригонометрични отношения

Класна стая на Google

Научи как косеканс, секанс и котангенс са реципрочни на основните тригонометрични отношения: синус, косинус и тангенс.

Вече научихме основните тригонометрични отношения:

Но има още три отношения, за които трябва да мислим:

Вместо start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, можем да разгледаме start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Вместо start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, можем да разгледаме start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
Вместо start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, можем да разгледаме start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.

Тези нови съотношения са реципрочните тригонометрични съотношения, а ние започваме да учим техните имена.

Косекансът left parenthesis, c, o, s, e, c, right parenthesis

Косеканс е реципрочното на синус. Това е отношението на хипотенузата към страната, разположена срещу даден ъгъл в един правоъгълен триъгълник.

sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

c, o, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Секансът left parenthesis, \sec, right parenthesis

Секанс е реципрочното на косинус. Това е отношението на хипотенузата към страната, прилежаща към даден ъгъл в един правоъгълен триъгълник.

cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

Котангенсът left parenthesis, c, t, g, right parenthesis

Котагнгенсът е реципрочното на тангенс. Това е отношението на прилежащия катет към срещулежащия катет в правоъгълния триъгълник.

t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

c, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Как хората помнят тези неща?

За повечето хора най-лесният начин да запомнят тези нови отношения е като ги свържат с техните реципрочни. Тези зависимости са обобщени в таблицата по-долу.

	Словесно описание	Математическа зависимост
Косеканс	Косеканс е реципрочното на синус.	c, o, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
Секанс	Секанс е реципрочното на косинус.	\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
Котангенс	Котангенс е реципрочното на тангенс.	c, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Намиране на реципрочните тригонометрични съотношения

Нека разучим един пример.

В дадения по-долу триъгълник намери c, o, s, e, c, left parenthesis, C, right parenthesis, \sec, left parenthesis, C, right parenthesis и c, t, g, left parenthesis, C, right parenthesis.

Решение

Намиране на косеканс

Знаем, че косеканс е реципрочното на синус.

Тъй като синус е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, косеканс е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет.

\begin{aligned}\operatorname{cosec} (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{хипотенуза}}} {\blueD{\text{ срещулежащ катет}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}

Намиране на секанс

Знаем, че секанс е реципрочното на косинус.

Тъй като косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата, секанс е отношението на хипотенузата към прилежащия катет.

\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{хипотенуза}}}{\maroonC{\text{прилежащ катет}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}

Намиране на котангенс

Знаем, че котангенс е реципрочното на тангенс.

Тъй като тангенс е отношението на срещулежащия катет към прилежащия, котангенс е отношението на прилежащия катет към срещулежащия.

\begin{aligned}\operatorname{ctg} (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{прилежащ катет}}}{\blueD{\text{срещулежащ катет}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

[Бих искал да видя повече примери, моля.]

Опитай сам!

Задача 1

c, o, s, e, c, left parenthesis, X, right parenthesis, equals

Задача 2

\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals

Задача 3

c, t, g, left parenthesis, R, right parenthesis, equals

Задача с повишена трудност

Изчисли точната стойност на c, o, s, e, c, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis.

Сортирай по:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.