Синус и косинус на ъгли, допълващи се до 90 градуса

Искаме да докажем, че синусът на даден ъгъл е равен на косинуса на ъгъла, който го допълва до 90 градуса.

Да започнем с правоъгълен триъгълник. Обърни внимание как се допълват острите ъгли, сумирай до 90$^\circ$degrees.

А сега идва хубавата част. Виждаш ли как синусът на един остър ъгъл

описва $\blueD{\text{точно същото отношение}}$start color #11accd, start text, т, о, ч, н, о, space, с, ъ, щ, о, т, о, space, о, т, н, о, ш, е, н, и, е, end text, end color #11accd като косинуса на другия остър ъгъл?

Невероятно! И двете функции, $\sin(\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis и $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis, дават точно едно и също отношение между страните в правоъгълния триъгълник.

Готови сме! Доказахме, че $\sin(\theta) = \cos(90^\circ-\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

С други думи, синусът на един ъгъл е равен на косинуса на ъгъла, който го допълва до 90 градуса.

Значи, технически ние доказахме това за ъгли с мерки между 0$^\circ$degrees и 90$^\circ$degrees. За да стане нашето доказателство приложимо за всички ъгли, трябва да излезем извън рамките на тригонометрията на правоъгълния триъгълник и да преминем в света на тригонометрията на единичната окръжност, но с тази задача ще се заемем друг път.

Може би си забелязал, че думите синус и косинус имат подобно звучене. Това е така, защото те са кофункции! Начинът, по който работят кофункциите, е точно този, който виждаш по-горе. По принцип, ако $f$f и $g$g са кофункции, тогава

и

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Ето пълен списък на основните тригонометрични кофункции:

Чудесно! Който и да е дал имената на тригонометричните функции, трябва да е разбирал в дълбочина връзките между тях.