Използване на реципрочни тригонометрични отношения

Имаме остър ъгъл Е – ето този ъгъл тук. Казват ни, че синус от ъгъл Е е 5 върху корен квадратен от 41, а котангенс от Е е равен на 8/10. Намери стойностите на останалите 4 тригонометрични тъждества. Аз обичам да използвам 'soh-cah-toa', за да си припомня определенията за тригонометричните тъждества. Нека запиша това – soh-cah... Ще запиша 'cah' в друг цвят – това не е друг цвят... Малко ми е трудно да сменям цветовете. SOH–CAH–TOA Така, 'soh' ни казва, че синус от даден ъгъл, в случая ни интересува ъгъл Е, е равен на срещулежащия катет върху хипотенузата. Ако погледнем ъгъл Е, кой е срещулежащият катет? Поглеждаме от другата страна на триъгълника и срещулежащият катет е ето тук. Този е срещулежащият, следователно имаме 5 върху хипотенузата. Хипотенузата лежи срещу правия ъгъл и е най-дългата страна в триъгълника – страната DE, а дължината ѝ е корен квадратен от 41. Корен квадратен от 41. Това всъщност е информацията, която са ни дали, така че това беше малко излишно. Можехме да открием това от чертежа. Но поне изчистихме този въпрос. Сега, нека помислим за реципрочното на синус от Е, което е косеканс от Е. Косеканс от Е е реципрочното на синус от Е, т.е. хипотенузата върху срещулежащия катет. Дори не е нужно да гледаме триъгълника. Можем просто да вземем реципрочното, което е корен квадратен от 41 върху 5. Или пък можем да се върнем и да го намерим. Сега, нека помислим за косинуса. На какво ще е равен косинус от Е? Първо да помислим какво е определението за косинус. На какво е равен косинус от Е? 'cah' ни казва, че е равен на прилежащия катет върху хипотенузата. Ако погледнем тук, вече знаем на колко е равна хипотенузата. Тя е същата – корен квадратен от 41. На колко е равен прилежащият катет? Колко е дължината му? За ъгъл Е прилежащият катет е FE, но ние не знаем на колко е равен той. Така, това е прилежащият катет, но не знаем дължината му. Ще напиша просто 'а'. 'а' заради начина, по който са ни дали триъгълника, също така и "а" като "adjacent" (прилежащ). Засега ще оставим това като 'а' върху корен квадратен от 41. Може би докато решаваме задачата ще открием повече информация, която ще ни помогне да намерим 'а'. Ако искаме да намерим секанс от Е, това е просто реципрочното на косинуса. Или хипотенузата върху прилежащия катет, което е корен квадратен от 41 върху 'а', каквото и да е 'а' – да се надяваме, че ще успеем да го намерим. Сега, нека използваме 'toa'. То ни казва, че тангенсът на ъгъл Е е равен на срещулежащ към прилежащ катет. Кой е срещулежащият катет на ъгъл Е? Това е DF, която е с дължина 5. Срещулежащият катет е 5. И все още не знаем дължината на прилежащия катет. Това е страната с дължина 'а'. Отново ще напиша тук просто 'а'. На колко е равен котагенсът? Котангенсът е реципрочното на тангенса. Следователно имаме прилежащ катет върху срещулежащ или, в този случай, 'а' върху 5. Прилежащ катет върху срещулежащ – 'а' върху 5. Какво са ни казали? И като използваме това, как можем да открием 'а'? Вече са ни казали, че котангенсът от Е е равен на 8/10. Тази дроб не е напълно опростена 8 и 10 имат общ делител. Така, вече са ни казали, че котангенс от Е е 8/10. Ако използваме определението за котангенс на Е, получаваме 'а' върху 5. И те ни казват, че това е равно на 8/10. Можем да запишем уравнение, което да решим за 'а'. И ако решим за 'а', след това ще можем да открием и всички останали отношения. Нека го направим. Имаме 'а' върху 5 е равно на – малко ще го опростим. Как можем да опростим 8/10? Имаме общ делител 2 и като разделим 8 на 2 получаваме 4. Делим 10 на 2 и получаваме 5. Значи имаме 'а' върху 5 е равно на 4/5. Сега можем да умножим на кръст или да умножим двете страни по 5 и ще получим – и в двата случая ще получим, че 'а' е равно на 4. Нека го направим. Остава ни 'а' е равно на 4, което е чудесно, защото сега можем да кажем, че котангенс от Е в действителност е 8/10, което е същото като 4/5. Можем да кажем, че тангенс от Е е равен, вместо на 5 върху а, е равен на 5 върху 4. А на колко ще е равен косинус от Е? Ами, той е равен на 'а' върху корен квадратен от 41. Нека направя това в различен цвят. Сега е 4 върху корен квадратен от 41. И колко е секанс от Е сега? Беше корен квадратен от 41 върху 'а', сега е корен квадратен от 41 върху 4, защото сега знаем стойността на 'а'. Можем да проверим дали 'а' е равно на 4, като използваме питагоровата теорема. Всъщност можехме и така да намерим 'а'. Но смисълът на тази задача е да открием, че това 'а' е 4, като използваме информацията "котангенс от Е е равно на 8/10". Въпреки че можехме да използваме и питагоровата теорема. Но нека се уверим, че това а=4 отговаря на питагоровата теорема. Ако вземем тази страна тук, имаме 4 на квадрат плюс 5 на квадрат, което трябва да е равно на корен квадратен от 41 на квадрат Трябва да е равно на хипотенузата на квадрат. Корен квадратен от 41 на квадрат. Така, 4 на квадрат е 16, 5 на квадрат е 25. Това удовлетворява ли питагоровата теорема? Така, 16 плюс 25, корен квадратен от 41 на квадрат е 41, 16 плюс 25 също е 41. Следователно отговорът ни удовлетворява питагоровата теорема. И сме готови!