Тригонометрични отношения в специални триъгълници

Досега използвахме калкулатора, за да изчисляваме синус, косинус и тангенс на един ъгъл. Възможно е обаче да изчислим тригонометричните функции за определени ъгли без да използваме калкулатор.

Това е така, защото има два специални триъгълника, чиито отношения на страните ние познаваме! Тези два триъгълника са триъгълник 45-45-90 и триъгълник 30-60-90.

Един триъгълник 30-60-90 е правоъгълен триъгълник с един ъгъл от ${30}^{\circ }$‍ градуса и един ъгъл от ${60}^{\circ }$‍ градуса.

Един триъгълник 45-45-90 е правоъгълен триъгълник с два ъгъла от ${45}^{\circ }$‍ градуса.

Вече сме готови да изчисляваме тригонометричните функции за тези специални ъгли. Хайде да започнем с ъгъла от ${30}^{\circ }$‍.

Разгледай разработения по-долу пример, за да видиш как се прави това.

Ето един разработен пример:

Стъпка 1: Начертай специалния триъгълник, който включва въпросния ъгъл.

Стъпка 2: Означи страните на триъгълника според съотношенията за този специален триъгълник.

Стъпка 3: Използвай дефиницията за тригонометричните съотношения, за да намериш стойността на посочения израз.

Обърни внимание, че можеш да разглеждаш $x$‍ като $1x$‍, следователно е ясно, че ${\displaystyle \frac{x}{2x}}={\displaystyle \frac{1x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Сега да използваме метода, за да намерим $\cos ({30}^{\circ })$‍ и $\mathrm{tg}({30}^{\circ })$‍.

Хайде да пробваме отново процеса с ъгъл от ${45}^{\circ }$‍. Тук можем да започнем с начертаването и означаването на страните на триъгълник 45-45-90.

Процесът на извеждане на тригонометричните отношения за специалните ъгли ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ и ${60}^{\circ }$‍ е един и същ.

Независимо, че до момента не сме показали изрично как се намират тригонометричните отношения за ъгъл от ${60}^{\circ }$‍, имаме цялата информация, която ни трябва!

Изчислихме тригонометричните съотношения за ъгли от ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ и ${60}^{\circ }$‍. Таблицата по-долу ни дава обобщение на резултатите.

Тези стойности се срещат често при сложните тригонометрични задачи. Поради тази причина е полезно да ги знаем.

Някой хора предпочитат да запаметяват тези стойности, но запаметяването им не е необходимо. В този урок ти изведе стойностите сам, следователно, да се надяваме, че ще можеш да ги изведеш отново, когато и да ти потрябват в бъдеще.