Текстова задача от тригонометрията: ъгли, допълващи се до 90 градуса

Реката Нил е преляла и наводнила всичко наоколо, с изключение на върха на Хеопсовата пирамида в Египет. Изпратена е експедиция, която да открие колко се е покачила водата. Изследователите измерват върха на пирамидата над водата и откриват, че е дължината му е 72 метра. Тоест ето това разстояние е 72 метра. Знаели са отпреди, че цялата дължина на ръба (когато няма наводнение) е 180 метра. Тоест цялата тази дължина е 180 метра. Знаели са също и че вертикалната височина на пирамидата е 139 метра. Това са 139 метра. На какво ниво над земята е водата? Земята е ето тук, в основата на пирамидата. И се търси нивото на водата над земята. Търсим ето тази височина тук. Нека я наречем h. Искаме да намерим h. Ако е нужно, можем да закръглим отговора до два знака след десетичната запетая. Така, какво знаем и какво търсим? Отбелязали са този малък ъгъл с тита. А това, разбира се, е прав ъгъл. Ъгълът при основата на пирамидата тук допълва тита до 90 градуса, следователно той ще е равен 90 градуса минус тета. Използвайки тази информация, можем също да открием, че този ъгъл горе също е равен на тита. Ако това ти изглежда малко странно, нека го начертая тук, за да стане малко по-ясно. Ако имаме правоъгълен триъгълник, в който този ъгъл е 90 минус тита. и искаме да открием ето този ъгъл тук – да кажем, че той е х, можем да кажем, х плюс 90 минус тита, плюс 90 градуса, ще е равно на – сумата на ъглите в триъгълник е – 180 градуса Ако извадим 180 от двете страни, това е 180 и това е 180 – изваждаме 180 отляво и 180 отдясно. Получаваме, че х минус тита е равно на 0. Можем да прибавим тита от двете страни, х е равно на тита. Значи това тук горе също ще е тита. Това също е тита. Какво друго знаем? Знаем, че това е 72. Знаем, че това цялото е 180. Това е 72, а това цялото е 180. Следователно тази част от ръба, която е под водата – ето това разстояние... Нека направя това, без да разхвърлям чертежа твърде много. Ще използвам черен цвят. Това разстояние ще бъде 108. 108 плюс 72 прави 180. Как ни помага това? Трябва да открием тази височина. Знаем, че това тук е правоъгълен триъгълник. Мога да го оцветя, за да стане малко по-ясно. Това жълтото е правоъгълен триъгълник. Нека погледнем този правоъгълен триъгълник и използваме тригонометрични отношения за този ъгъл тита, за да открием h. Знаем, че по отношение на ъгъл тита, страната с дължина h е прилежащ катет. А тази дължина 108 тук, по ръба, е хипотенузата в този жълт триъгълник. Кое тригонометрично отношение включва прилежащ катет и хипотенуза? Синусът е срещулежащ катет към хипотенуза. Това ще е това разстояние върху хипотенузата. Косинусът е прилежащ катет към хипотенуза. Получаваме, че косинус от тита е равен на височината, която ни интересува – това е прилежащ катет в този правоъгълен триъгълник, върху дължината на хипотенузата – върху 108. Обаче това още не може да ни помогне, тъй кат понеже не знаем колко е косинус от тита. Но имаме подсказка. Тита също е и тук горе, следователно можем да намерим косинусът тук горе, след което да решим за h. Ако разгледаме тази информация, колко е косинус от тита? Сега разглеждаме друг правоъгълен триъгълник. Сега разглеждаме целия този правоъгълен триъгълник. Като гледаме целия този правоъгълен триъгълник, колко е косинус от тита? Косинус от тита отново е равен на прилежащия катет към хипотенузата. Прилежащият катет е ето тази дължина тук. Вече знаем, че това е 139 метра. Следователно това ще е равно на 139 метра върху... А каква е дължината на хипотенузата? Хипотенузата е ето тази дължина. Това е 72 плюс 108. Всъщност вече го имаме отбелязано тук. Това е 180. Можем да допуснем, че пирамидата е равнобедрен триъгълник. 180 от тази страна и 180 от тази страна. Така, косинусът е прилежащ катет – 139, върху хипотенузата, която е 180. И тази тита е същата като тази. Току-що го показахме. Сега имаме косинус от тита е равно на h/108. Косинус от тита е и 139/180. Или можем да кажем, че h/108, което е косинус от тита, също е равно на 139/180. И двете са равни на косинус от тита. Сега, за да решим за h, трябва просто да умножим двете страни по 108. h е равно на 139 по 108/180. Нека си извадим калкулаторите и да пресметнем. 139, по 108, делено на 180, е равно на 83,4 метра. Следователно h е равно на 83,4 метра. Височината на водата е 83,4