Графика на функцията y=sin(x)

Питат ни какви са дефиниционното и функционалното множества (ДМ и ФМ) на функцията синус. За да помислим върху това, нека първо начертаем графиката на функцията синус. И тук, от лявата страна, имам единична окръжност. Нека я съкратя малко. Това място не ми трябва, затова нека го изтрия. Така, от лявата страна имам единична окръжност и ще я използвам, за да намеря стойността на синус от тита за даден ъгъл тита. На единичната окръжност това е оста х, а това е оста у. Можем да го разгледаме и по друг начин. Можем да използваме х и у и за даден ъгъл тита да видим къде горната страна на ъгъла пресича единичната окръжност. Координатата у на тази точка ще бъде синус от тита. На тази графика у отново ще е вертикалната ми ос, но ще начертая графиката на у, равно на синус от тита. А по хоризонталната ос няма да нанеса х, а ъгъл тита. Можем да разглеждаме тита като независима променлива, И тита ще е в радиани. В общи линии ще вземем няколко ъгъла тита, ще намерим синусите им и ще ги нанесем на графиката. Нека си направим малка таблица. Тук имам тита, а тук ще записваме синус от тита. Можем да вземем няколко стойности на тита. Нека започнем с нула. Какъв ще е синус от тита тогава? Когато ъгълът е 0, пресичаме единичната окръжност ето тук – координатата у е 0 – това е точката (1;0). Координатата у е 0, значи и синус от тита е 0. Можем да кажем, че синус от 0 е равно на 0. Сега, нека опитаме с тита, равно на π/2. Започвам с тези стойности, които се откриват лесно. Така, тита е равно на π/2. Това е същото като ъгъл от 90 градуса. Следователно горната му страна ще бъде точно по оста у. Ето така. И пресича единичната окръжност ето тук. И каква е тази точка? Това е точката (0;1). Колко ще е синус от π/2 тогава? Ами, това е просто координатата у ето тук – това е стойността 1. Синус от π/2 е 1. Нека продължим и може би ще забележиш закономерност тук. Ще продължим да се движим около окръжността. Нека помислим какво се случва, когато тита е равен на π. Колко е синус от π? Пресичаме окръжността ето тук, координатите са (-1;0). Синусът е координатата у, значи ето тук е синус от π; синус от π е 0. Да вземем 3π/2. Сега сме изминали 3/4 от окръжността и горната страна на ъгъла пресича единичната окръжност ето тук. Като гледаме това, колко е синус от 3π/2? Тази точка тук е (0;-1). Синус от тита е същото като координатата у или координатата у е синус от тита. Следователно когато тита е 3π/2, синус от тита е -1. И нека направим пълен кръг. Да отидем до тита, равно на 2π. Тук ще използвам жълто. Какво става, когато тита е равно на 2π? Ами, тогава сме обиколили цялата окръжност и сме там, откъдето започнахме. Координатата у е 0, значи синус от 2π отново е 0. Ако продължим по този начин, ще забележим, че увеличавайки ъгъла, получаваме закономерност. Да опитаме да нанесем това на графиката. Така, когато тита е равно на 0, синус от тита е 0. Когато тита е π/2, синус от тита е 1. Използваме същия мащаб. Синус от тита е 1. Това е 1 и на тази, и на онази ос. Тук може би ще видим аналогия. Когато тита е равно на π, синус от тита е 0. Връщаме се тук. Когато тита е равно на 3π/2, това ще е ето тук, 3π/2, синус от тита е минус 1. Значи това тук е минус 1. Ще използвам същия мащаб, ще направя това минус 1, синус от тита е минус 1. И после, когато тита е 2π, синус от тита е 0. Сега можем да свържем точките. Може да опиташ и с междинни точки. Ще получим графика, която изглежда така. Чертая я възможно най-добре, изглежда горе-долу така. Има причина подобни криви да се наричат "синусоиди". Защото представляват графиката на функцията синус. Но това не е цялата графика, можем да продължим. Можем да добавим още π/2. Ако отидем при π/2 и добавим още едно π/2, можем да разглеждаме това като 2 и 1/2 π, ако искаме. Това ще ни върне тук. Ще се върнем при синус от тита е равно на 1. Ще се върнем при ето тази точка и можем да продължим – да добавим още π/2. Ще се върнем до тази точка и ще сме ето тук. И така, кривата или графиката на синус от тита е точно определена за всяка реална стойност на тита, която изберем. А какво става с отрицателните числа? Очевидно, ако продължаваме да увеличаваме тита по този начин, продължаваме да обикаляме около окръжността и се появява тази закономерност. Но какво ще стане ако отидем в отрицателна посока? Нека опитаме. Какво ще стане, ако вземем минус π/2? Ще го направя. Така, -π/2 ще бъде ето тук. Пресичаме единичната окръжност тук. Координатата у е минус 1. Следователно синус от минус π/2 е минус 1. Виждаме, че графиката продължава аналогично. Следователно синус от тита е определен за всеки положителен, отрицателен или какъвто и да е ъгъл тита. Положителен, отрицателен, неотрицателен, нула, какъвто и да е. Винаги е определен. Нека се върнем към въпроса. Мога да продължа да си чертая тази графика, но нека се върнем на въпроса. Какво е дефиниционното множество (ДМ) на синус функцията? Напомням, че дефиниционното множество са всички аргументи, за които функцията е дефинирана или за които функцията ще изведе валиден отговор. Какво е дефиниционното множество тук тогава? Всъщност вече го определихме. Можем да сложим каквото и да е тита тук. Можем да кажем, че ДМ са всички реални числа. Ами функционалното множество (ФМ)? Да преговорим, че ФМ, което понякога се нарича "образ" в по-техническите часове по математика, е множеството на всички стойности, които функцията може да приеме. В нашия случай кое е ФМ? Кои са всички стойности, които 'у, равно на синус от тита', може да приеме? Ами, виждаме, че се движим от плюс едно до минус едно и после пак от плюс едно до минус едно. Функцията приема всички стойности между двете. Виждаме, че синус от тита винаги ще е по-малко или равно на 1 и винаги ще е по-голямо или равно на минус 1. Следователно можем да кажем, че ФМ на синус от тита е множеството от всички числа между минус 1 и плюс 1, като включваме минус 1 и 1 – затова слагаме квадратни скоби.