If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Тригонометрична текстова задача: дължина на деня (фазово изместване)

Сал решава текстова задача за годишната промяна на дължината на деня, която изразява със синусоидална функция с фазово изместване. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Най-дългият ден в годината в Джуно, Аляска, е 21 юни. Дълъг е 1096,5 минути. Половин година по-късно, когато дните са най-къси, тяхната продължителност е около 382,5 минути. Ако годината не е високосна, нейната продължителност е 365 дни, като 21 юни е 172-ят ден от годината. Напиши тригонометрична функция, която да представя дължината L на деня t от годината. L ще бъде функция от t, като приемаме, че годината не е високосна. Съветвам те да спреш видеото на пауза и да опиташ да го решиш, преди да се опитаме да го направим заедно. Нека да започнем. Вместо да започнем с L(t), ще започнем с L(u), където u е друга променлива, която ще използвам като медиатор, за да ни помогне да това решим по-лесно. Записвам, че u е дни след 21 юни. Нека да помислим малко повече по това. 21 юни. Ако разсъждаваме от гледна точка на u, u ще бъде равно на 0, защото е 0 дни след 21 юни. Но, ако разсъждаваме от гледна точка на t, 21 юни е 172-ят ден от годината. 172-ят. Какво е отношението между u и t? То се измества със 172 дни. u ще бъде равно на t минус 172. Обърни внимание, че, когато t е равно на 172, u е равно на 0. Хайде първо да намерим L(u) и после можем просто да сменим u с t минус 172. Да видим първо какво се случва, когато u е равно на 0. Нека да запишем всичкото това. Какво се случва, когато u е равно на 0? u е равно на 0 на 21 юни и това е точката максимум. Коя тригонометрична функция достига своята точка максимум, при зададена стойност 0? Синус от 0 е 0, докато косинус от 0 е равен на 1. Косинус достига своята точка максимум. Изглежда малко по-лесно да представим това с косинус. Ще стане равно на някаква амплитуда (А) по косинус от, да кажем... Ще запиша тук някакъв коефициент С. Всъщност нека да използвам В, след като вече използвах А. Някакъв коефициент тук по нашето u, плюс някаква константа, която ще изнесе цялата функция нагоре или надолу. Това ще бъде видът, който ще приеме нашата функция L(u). Сега просто трябва да разберем какво представлява всяко от тези. Нека първо да помислим каква ще бъде амплитудата и каква ще бъде средната линия. Средната линия по същество показва доколко функцията е изтеглена нагоре. Хайде да извадим калкулатора. Средната линия ще минава по средата между тези две числа. Можем да кажем, че 1096,5 плюс 382,5 делено на 2 ни дава 739,5. Това е стойността на С. С е равно на 739,5. А амплитудата показва до каква степен се отклоняваме от средната линия. Можем да вземем 1096 минус това или можем да вземем това минус 382,5. Хайде да го направим. Да вземем 1096,5 минус това, което получихме току-що - 739,5. Получаваме 357. Това е нашето отклонение от средната линия. А е равно на 357. Това тук е равно на 357. А на какво ще бъде равно В? В такива случаи винаги се питам: "Какво ще бъде поведението на функцията, какъв ще бъде периодът на функцията?" Нека да начертая малка таблица. Ще въведа различни стойности на u. Когато u е равно 0 дни след 21 юни, се намираме в точката максимум. Вече казахме, че това, което искаме да изчислим с функцията косинус в тази точка, всъщност е изчислението за 357 по косинус от 0, плюс 739,5. А какво е цял период? Цял период е една година. За една година се връщаме в същия момент от годината, в което, смятам, има известен смисъл. Преминаваме през цялото време от 365 дни - когато u е равно на 365, имаме един завършен период. Би следвало отново да сме в същата точка максимум. Това всъщност трябва да бъде 357 по косинус от 2π. Ако разсъждаваме по отношение на традиционната тригонометрична функция - ако имахме един ъгъл тита тук, имаме завършен период на всяко 2π. Това трябва да е еквивалентно на това, което пиша тук. Плюс 739,5. Можем да го представим като В по 365 равно на 2π. Обърни внимание, че това ще бъде В по 365 - нека да го запиша. В по 365. Аргументът на косинус функцията трябва да е равен на 2π. Или В е равно на 2π върху 365. В е равно на 2π върху 365. Почти сме готови. Открихме какво представляват A, B и C. Сега просто трябва да заменим u с t минус 172, за да получим L(t). Да го направим. Получаваме... Сега заслужаваме поне малко поздравления. L(t) е равно на А, което е 357 по косинус от В, а В е 2π върху 365. 2π върху 365 по... Не u - сега ще го напишем по отношение на t. Говорим за един ден от годината, не за дни след 21 юни. Става t минус 172 и накрая, плюс нашата средна линия - плюс 739,5. И сме готови. Изразът изглежда много сложен, но ако просто го разложим и помислим върху него, ако направим уточнението, че говорим за екстремума, независимо дали минимума или максимума... Ако разгледаме функцията при зададени стойности 0 или 2π... Всъщност при 0 е най-лесно. След това можеш да мислиш за замяната на стойностите. Дано това да ти е било полезно.