If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:48

Видео транскрипция

В това видео ще разгледаме какви са стойностите на синус, косинус и тангенс на два много важни ъгъла. Тези ъгли ще срещаш много често в тригонометрията или просто в ежедневието си. Това са ъглите пи върху 3 и пи върху 6 радиана. Понякога е полезно да си ги представим в градуси. Ъгъл пи върху 3 радиана – вероятно си спомняш, че пи радиана са 180 градуса, така че делим 180 на 3 и получаваме 60 градуса. Повтарям отново, 180 градуса – ъгъл пи върху 6 радиана е равен на 30 градуса. Сега ще използвам дефиницията на тригонометричните функции в единичната окръжност. За улеснение ще дам едно малко напомняне на това, което може би вече знаеш за триъгълник с ъгли 30, 60 и 90 градуса, което също можем да наречем триъгълник с ъгли пи върху 6, пи върху 3 и пи върху 2 радиана. Първо ще начертая един триъгълник, защото това ще ни бъде много полезно, когато пресмятаме тези тригонометрични функции чрез дефиницията им в единичната окръжност. Ще начертая един триъгълник. Чертая на ръка, така че няма да е така прецизно, както би трябвало. Това тук е прав ъгъл, и да кажем, че този ъгъл е пи върху три радиана, което е равно на 60 градуса, а този ъгъл тук е пи върху 6 радиана, което е равно на 30 градуса. Да кажем, че най-дългата страна, хипотенузата, е с дължина единица. За да си помогнем в разсъжденията за дължините на другите две страни, ще "преобърна" триъгълника спрямо ето тази страна тук, (показва на чертежа) и ще построя неговия огледален образ. Тъй като това е огледален образ, ние вече знаем няколко неща. Знаем , че тази дължина ето тук е равна на тази дължина ето тук. Всъщност ще довърша чертежа на триъгълника, и той ще изглежда ето така. Пак повтарям, това е образ при осева симетрия, дължината ето тук е единица, този ъгъл е пи върху 6 радиана, а този ъгъл е пи върху 3 радиана. Какво друго знаем сега за този по-големия триъгълник? Знаем, че това е равностранен триъгълник. Всички ъгли са пи върху 3 радиана, пи върху три радиана, и ако съберем два пъти пи върху 6 радината, получаваме пак пи върху 3 радиана. Значи това този триъгълник е с ъгли 60 градуса, 60 градуса и 60 градуса. Всички страни са с равни дължини, така че тези страни са с дължина единица, единица и пак единица. Ако тези две страни са равни в по-малките триъгълници, в по-малките правоъгълни триъгълници, тогава тази дължина тук трябва да е една втора, и тази дължина тук трябва да е една втора. Това ще ни бъде полезно, за да пресметнем дължината на тази страна ето тук. (очертава я с лилаво) Тъй като имаме два правоъгълни триъгълника, можем да използваме кой да е от тях, но ако използваме този долу вдясно, съгласно питагоровата теорема тази страна е 1/2 на квадрат, тази страна ще означа като b – значи плюс b на квадрат – просто прилагам формулата – а на квадрат плюс b на квадрат равно на с на квадрат, където с е дължината на хипотенузата, е равно на 1 на квадрат. Получаваме 1/4 плюс b на квадрат е равно на едно. Изваждаме 1/4 от двете страни. b на квадрат е равно на три четвърти, след което коренуваме двете страни и получаваме b равно на корен квадратен от 3 върху 2. По този начин пресметнахме дължините на страните в този триъгълник с ъгли 30, 60 и 90 градуса. Дължината на тази страна, b, е равна на корен квадратен от 3/2. Казах, че това ще ни е полезно, когато разглеждаме определенията за синус, косинус и тангенс в единичната окръжност. Сега ще видим защо. Тук имам две различни единични окръжности и ще използвам всяка от тях за един от тези ъгли. Първо да разгледаме ъгъла пи върху три радиана. Ъгъл пи върху три радиана ще изглежда приблизително така, (чертае) това е ъгъл пи върху три радиана. Косинус и синус можем да определим като координатите х и у на тази точка, където този радиус пресича единичната окръжност. Координатите на тази точка ще бъдат косинус от пи върху 3 радиана и синус от пи върху 3 радиана. Друг начин да разсъждаваме е да построим един триъгълник с ъгли 30, 60 и 90 градуса, затова ще спусна един перпендикуляр. Този ъгъл тук ще бъде 90 градуса или пи върху две радиана. (показва на чертежа) После този ъгъл ето тук – това са 60 градуса, това са 90 градуса, значи този ъгъл е 30 градуса. Друг начин да го представим е, че ъгълът е пи върху 6 радиана. Този триъгълник е точно като един от тези триъгълници тук. Значи координатата х, която е равна на косинус от пи върху три, ще бъде дължината на тази страна ето тук. (означава я с лилаво) Колко е тази дължина? Щом хипотенузата е с дължина единица, знаем, че по-късата страна, тази, която е срещу ъгъла пи върху 6 радиана, ще бъде 1/2. И така установихме, че косинус от пи върху 3 радиана е равен на 1/2. Това ето тук е 1/2, това е координатата х, където радиусът пресича единичната окръжност. Колко е координатата у? Колко е синус от пи върху три? Координатата у е равна на дължината на тази страна, (оцветява я в синьо) и отново, можем да използваме този триъгълник. Ако дължината на тази страна е единица, а на тази е 1/2, това е 1, това е 1/2, тогава третата страна ще е равна на корен квадратен от 3, върху 2. Значи синус от пи върху 3 е корен квадратен от 3, върху 2. Ще го запиша. Синус от пи върху 3 е равно на корен квадратен от 3, върху 2. Тези стойности е добре да се знаят. Аз не обичам да казвам, че нещата трябва да се помнят, защото винаги е за предпочитане човек да си ги изведе, ако ги забрави. Но ако трябва нещо да се запомни, горещо ти препоръчвам да запомниш точно тези. След това от тях можем да намерим колко е тангенсът. Тангенсът е просто синус върху косинус, което ще запиша ето тук. Тангенс от пи върху 3 е равно на синус, който е корен квадратен от 3, върху 2, върху косинус, който е 1/2. Малко сбих нещата тук. Това ще е равно на корен квадратен от 3, върху 2, по 2, което дава корен квадратен от 3. Сега да използваме същата логика за ъгъла пи върху 6. Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да видиш дали можеш да го направиш самостоятелно. Добре, сега ще начертая радиус, който образува ъгъл пи върху 6 радиана с положителната част на оста х – ще изглежда ето така. Значи това е ъгъл пи върху 6 радиана. Може би се досещаш, че е добре да спуснем един перпендикуляр тук, и да видим какъв вид триъгълник ще се получи. Значи тази дължина е единица, този ъгъл е пи върху 6 радиана, а това е прав ъгъл. Начинът на разсъждение е същият. Този ъгъл е пи върху 3 радиана. Страните са същите като в горния син триъгълник ето тук. Знаем, че дължината на тази страна е 1/2. (оцветява страната в синьо) Знаем, че дължината на тази страна (оцветява я в лилаво) е корен квадратен от 3, върху 2. Това ни е полезно, понеже ни дава координатите на тази точка. Координатите тук са: координатата х на тази точка, в която радиусът пресича единичната окръжност, е корен квадратен от 3, върху 2, после координатата у е 1/2. Така веднага разбираме колко са косинус и синус от пи върху 6. Ще го запиша. Това ни казва, че косинус от пи върху 6 е равно на корен квадратен от 3, върху 2. Синус от пи върху 6 е равно на 1/2. Обърни внимание, че просто разменяме местата на тези две неща, защото сега ъгълът, за който разглеждаме синус и косинус е другият ъгъл в триъгълника с ъгли 30, 60 и 90 градуса. Но използваме същите мерки на страните, можем да си го представим и по този начин. Колко ще бъде тангенсът? Ще го запиша. Тангенс от ъгъл пи върху 6 е равен на синус върху косинус, корен квадратен от 3, върху 2... това е равно на 1/2 по 2 върху корен квадратен от 3, което дава едно върху корен квадратен от 3. Някои хора не обичат да оставят корени в знаменателя. Можеш да умножиш числителя и знаменателя по корен квадратен от 3, ако искаш, за да получиш нещо такова – умножаваш числителя и знаменателя по корен квадратен от 3 и получаваш корен квадратен от 3, върху 3, което е друг начин да се представи тангенс от пи върху 6. Имаме го и по двата начина. По принцип е полезно да се знаят косинус, синус и тангенс от ъглите пи върху 3 и пи върху 6. А сега знаеш как можеш да си ги изведеш.