Парадокс на Бертран

Аз съм Джонатан Вайсберг, професор по философия в университета в Торонто. Днес ще ти разкажа за парадокса на Бертран и защо е толкова важен. Наименованието "Парадокс на Бертран" идва от математик от 19-и век Жозеф Бертран. Той публикувал известен пример за него през 1889 г., но неговия пример е сложен. Затова ще използваме по-лесен пример от философа Босман Фрост. Ето го примера. Представи си фабрика, която реже квадратчета от дърво. Страните на квадратчетата винаги са били дълги между 1 фут и 3 фута. Сега се запитай колко вероятно е страните на следващия квадрат, който ще бъде изрязан, да са дълги 1 фут и 2 фута. Е, 1/2 е очевидният отговор. Диапазонът възможни дължини за страните е 1 до 3 фута. Представи си числова ос от 1 до 3. Диапазонът 1 до 2 е половината от това. Тоест половината възможни дължини са между 1 и 2 фута. Дотук добре, но ето я уловката. Ще зададем същия въпрос с различни думи и ще получим различен отговор. Как е възможно това? Да видим. Помисли за следния въпрос – колко вероятно е площта на следващия квадрат да е между 1 квадратен фут и 4 квадратни фута? Вече не ни интересуват дължините на страните на квадратите, а ни интересува тяхната площ, но всъщност това е същият въпрос. Помни, говорим за квадрати тук и един квадрат да има страни с дължина между 1 и 2 фута е същото като да има площ между 1 и 4 квадратни фута. Площта е просто квадратът на дължината на страната. И 1^2 е 1, а 2^2 е 4, така че диапазонът дължина от 1 до 2 съответства перфектно на диапазон на площта от 1 до 4. Каква е вероятността площта да е между 1 и 4 квадратни фута? Тя е 3/8, или поне твърдя така. Откъде получих отговора? Площта на тези квадрати е винаги между 1 фут и 9 фута, страните винаги са дълги между 1 фут и 3 фута, 1^2 е 1, това е долният край на диапазона, а 3^2 е 9, това е горният край. Сега да си представим друга числова ос, този път от 1 до 9. Каква част от тази ос е диапазонът от 1 до 4? 3/8, тоест вероятността е 3 от 8, или около 38%. Опа, получихме два различни отговора на един и същи въпрос. Когато направихме изчислението спрямо дължините на страните, получихме 1/2, когато го направихме спрямо площта, получихме 3/8. Кой отговор е верен? В този момент може да мислиш, че сме объркали изчисленията някъде, но изчисленията са си правилни. Върни се и провери колкото пъти искаш, няма да намериш никакви грешки в изчисленията. Какво става тук? Добре известен математически факт е, че размерът на един диапазон вероятности зависи от това как ги описваш. Спрямо дължините на страните диапазонът 1 до 2 е половината от общия диапазон от 1 до 3. Но спрямо площта е по-малък. Когато преминем към площта, повдигаме всички числа на квадрат и повдигането на по-големи числа на квадрат ги увеличава повече от повдигането на по-малки числа на квадрат. Тоест диапазонът от 1 до 2 нараства, но диапазонът от 2 до 3 нараства още повече. Тоест първият диапазон възможности изглежда по-малък от гледна точка площта, въпреки че изглежда със същия размер от гледна точка дължината. Парадоксът на Бертран не е резултат от изчислителна грешка, а е резултат от използването на размер диапазон за определяне на неговата вероятност Представено по друг начин – парадоксът възниква от известен принцип, познат като принципа на безпристрастието. В най-простата си форма принципът на безпристрастието просто брои възможностите. Представи си, че си на състезателно трасе и бягат три коня, А, В и С. Каква е вероятността кон А да спечели? Очевидно е 1 от 3, като приемем, че е невъзможно да има равенство, за да оставим нещата прости. Като цяло, принципът на безпристрастието казва, че когато броят вероятности е n, всяка възможност има вероятност 1 от n. За хвърлянето на монета, при която двата резултата са ези и тура и всеки има вероятност 1/2, 1 от 2. Ако има дъска за дартс с четири сектора, всеки има вероятност 1 от 4 стреличката за дартс да попадне в него и т.н. Забележи, че принципът на безпристрастието се прилага само когато знаеш всички възможни резултати. Ако имаш повече информация, например, че някой кон а е болен, това променя нещата. Тогава болният кон има по-малка вероятност да спечели от другите и тогава принципът на безпристрастието не се прилага. Той просто ти казва с какви вероятности да започнеш, преди да получиш важна информация. Ами когато има континуум от възможни резултати в примера с фабриката за квадрати? Дължината на страните на квадратите може да е между 1 и 3 фута и не можеш да преброиш всяка възможност в този диапазон. Тогава принципът на безпристрастието ни казва да използваме размера на всеки диапазон, за да определим неговата вероятност. Ако един диапазон възможности заема половината от общия диапазон, тогава той има вероятност 1/2. Ако заема 1/3 от общия диапазон, тогава той има вероятност 1/3 и така нататък. Така получаваме парадокс. Понеже видяхме, че размерът на един диапазон вероятности зависи от начина, по който го описваш. Като използваме дължината, получаваме 1/2 в примера с фабриката за квадратите. Като използваме площта, получаваме различен отговор, 3/8 в този пример. Може да се изненадаш да научиш, че парадоксът на Бертран се оказва голям проблем за научното разсъждаване, понеже принципът на безразличието се предполага, че отговаря на изключително важен въпрос. Той ни казва откъде да започнем, когато работим с вероятности, а вероятностите лежат в сърцето на почти всеки клон на науката, дали ще е медицина, психология или физика, всяко научно поле разчита на статистическо разсъждаване. Същото важи за ежедневните ни решения от хранителни избори до политики. Всъщност, често тези решения разчитат на откритията на научното проучване. Тоест принципът на безпристрастието трябва да определи началната точка за всяко научно проучване. Но сме виждали, че води до противоречиви резултати. Всъщност този проблем има огромно влияние върху развитието на модерната наука. Повече от век статистиците са се опитвали да открият методи, които да го решат, но все още не са съгласни и спорят за това как да се справят с него. Като резултат дори не са съгласни какво да направят с резултатите от различни научни проучвания. Парадоксът на Бертран навлиза право в сърцето на дебатите за науката и нейната обективност. Парадоксът на Бертран е близко свързан с друг известен философски парадокс, парадоксът на Гудман. Парадоксът на Бертран показва как вероятностите, които получаваме от принципа на безпристрастието зависят от това дали ще изберем дължината, или площта. Парадоксът на Гудман ни показва как да направим подобен трик с друг известен принцип, лежащ в основата на научното разсъждение, който Дейвид Хюм нарекъл принцип на еднородността на природата. И двата парадокса показват как основни научни принципи изглежда зависят от думите, които избираме. Толкова за парадокса на Бертран. Благодаря, че гледа! За да се абонираш за Философия с отворен достъп в Ютуб, натисни тук.