If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:47

Метафизика: Размери на безкрайността, част 1 (Хотелът на Хилберт)

Видео транскрипция

Здравей, аз съм Агустин Райо. и съм асистент по философия в МИТ и днес искам да говоря как така може да има някои безкрайности, които са по-големи от други. Първото упражнение, за да видим защо някои безкрайности са по-големи от други, е да помислим за хотела на Хилберт. Хотелът на Хилберт е като обикновен хотел, само дето вместо да има краен брой стаи като повечето хотели, той има безкрайно много стаи. Можем да начертаем това. Просто имаме много дълъг правоъгълник с много стаи и ще номериране всяка стая с естествено число. Първото естествено число е 0 (макар у нас да не се учи така, така е според международния стандарт), след което следват 1, 2, и 3, и 4, и 5, и така нататък. И ще приема, че този хотел е изцяло пълен. С други думи, във всяка стая има човек. Ще начертаем човек във всяка стая. И ще приемем, че тези различни хора също са номерирани. Може би всеки от тях държи лист хартия с число. Човекът в стая 0 има лист хартия с числото 0, човекът в стая 1 има лист хартия с номер 1 и така нататък. Сега се запитай: какво ще се случи, ако допълнителен човек дойде в хотела? Може ли да бъде настанен? В един краен хотел отговорът е "не", понеже всички стаи вече са заети и можем да приемем, че това са придирчиви гости и не искат да споделят стаите си. Но в един безкраен хотел това може да бъде направено. Представи си го така. Можем просто да накараме всеки човек да се премести с една стая надясно. Господин Нула, който е в стая нула, се премества в стая 1 Госпожица 1, която е в стая 1, се мести в стая 2, 2 се мести в 3, 3 се мести в 4, 4 се мести в 5 и така нататък. И резултатът е, че всички от началните ни гости са в стаите си, но първата ни стая е свободна, понеже сега няма никой в стая 0, така че можем да настаним допълнителния си гост. Едно нещо, което е удивително и си струва да се подчертае, е, че хотелът беше пълен в началото и все пак можахме да настаним още хора. Това е удивително, но вярно. Част от причината, поради която е възможно, е, че има две неща, които се събират в крайния случай, но трябва да бъдат разделени в безкрайния случай. В крайния случай, ако имаш множество и добавиш допълнителни неща към множеството, множеството, което получаваш, е по-голямо от оригиналното, но в безкрайния случай това не е задължително вярно, понеже оригиналното множество просто се състои от оригиналните гости на хотела, а после добавяме още един. Новото множество не е по-голямо в смисъла, че все още можеш да поставиш всеки елемент от новото множество в различна стая в хотела си. Ако измерваш размера спрямо колко голям хотел ще ти трябва, за да настаниш всички членове на множеството, тогава ще трябва да заключим, че множеството на оригиналните гости и множеството на оригиналните гости плюс един са с един и същ размер. Шантаво! Това е нещо удивително. И ако помислиш за това, можеш да видиш, че можехме да настаним също всеки краен брой гости, понеже, предположи, че имаме 700 нови гости, тогава можем просто да помолим всеки от оригиналните ни гости да се премести със 700 стаи надясно. Но, чакай... Ами ако имаме безкрайно много нови гости? Предположи, че имаме безкрайно много нови гости и те също са номерирани с естествени числа, така че първият държи нула, вторият държи 1, следващият държи 2 и така нататък. Как бихме ги настанили? Можем да го направим по следния начин. Можем да помолим всеки от оригиналните си гости да се премести спрямо резултата от умножаването на настоящата им стая по две. Човекът в 0 отива в 2*0, което е равно на 0, така че той остава. Човекът в 1 се мести в 1*2, това е 2, така че тя се мести с 1 надясно. Човекът в 2 се мести в 2*2, това е 4. Тя се премества с 2 надясно и така нататък. Резултатът е, че всички първоначални гости заемат стаите с четен номер, а всички стаи с нечетен номер са свободни, така че можем да помолим всички нови гости да се настанят в стая с нечетен номер. Коя? Можем просто да вземем числото им, да го умножим по 2 и да добавим 1, и той може да отиде в тази стая. Ето го извода от всичко това. Изводът от всичко това е, че ако имаме безкраен хотел, можем да настаним едно копие от естествените числа, но можем също да настаним две копия от естествените числа и, всъщност, можем да настаним толкова копия на естествените числа, колкото естествени числа има. Но преди да се заемем с този въпрос е полезно да помислим по един друг въпрос и това е първата от две чудесни теореми, които били доказани от Георг Кантор през 19-и век. Първата теорема е, че можеш да поставиш всички рационални числа в съответствие едно към едно с естествените числа. Какво означава рационално число? Рационално число е число във вида а/b, където и а, и b са естествени числа и приемаме, че b не е 0. Кантор показал, че можем да съчетаем естествените числа с рационалните числа без остатък. Всяко естествено число получава уникално рационално число и всяко рационално число получава уникално естествено число, и никой не остава без партньор. Ето как да го направим. Просто чертаем матрица. Всяка колонка ще отговаря на числителя, а всеки ред ще съответства на знаменател. Така попълваш матрицата. И така нататък. Можеш да видиш, че всяко рационално число е в тази матрица, понеже, помни, получаваш рационално число, като вземеш естествено число и го разделиш на естествено число, различно от 0. Предположи, че рационалното ти число е 17 делено на 94. За да намериш клетката, която съответства на това число, просто отиваш към колонката, която е отбелязана със 17 и реда, който е отбелязан с 94, и там ще е числото ти. Всяко рационално число е в матрицата. Кантор открил, че можеш да поставиш естествено число към всяка клетка и ето как да го направиш. Просто премини по диагонал. Нека това да е нула, а това да е 1. И 2, и 3, и 4, и 5, и 6, и 7, и 8, и така нататък. Като използваме тази система, всяко рационално число получава естествено число. Сега можем да се върнем към нашия хотел. Спомни си, въпросът беше "Как можеш да събереш безкрайно много безкрайности в твоя хотел?". Сега имаме начин да го направим. Помисли за всяка колонка в матрицата ни като за съответстваща на една безкрайност нови гости. За да решим в коя стая да изпратим човек, трябва да използваш трика на Кантор. Постави естествено число към всяка клетка в матрицата и накарай човека да отиде в стаята, която съответства на това число. И така настаняваме безкрайно много нови безкрайности от гости в хотела си. Удивително!