If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:51

Метафизика: Размери на безкрайността, част 2 (А сега наистина)

Видео транскрипция

Здравей, аз съм Агустин Райо и съм асистент по философия в МИТ. Днес искам да говоря за това как така има някои безкрайности, които са по-големи от други. Виждали сме, че има множество безкрайности, които са с един и същи размер в смисъла, че могат да бъдат поставени в пълно съответствие една спрямо друга. На човек може да му се иска да мисли, че всички безкрайности са с един и същи размер. Че всеки две безкрайности могат да бъдат поставени в пълно съответствие една спрямо друга. Но всъщност това не е вярно и това е втората голяма теорема, която Кантор доказал. Той показал, че има повече реални числа, отколкото естествени числа. Ако толкова нови гости, колкото са реалните числа, се появят в хотела, не можем да ги настаним. Не можем да ги настаним, дори ако хотелът е бил празен в началото. Ето как да го направим. Ще докажем, че има повече реални числа между 0 и 1, отколкото са естествените числа. И начинът да го направим е чрез допускане на противното. Ще допуснем противоположното на това, което искаме да докажем, и ще намерим противоречие от това предположение. Понеже противоположното води до противоречие, то не може да е вярно. Тоест нещото, което искахме да докажем, трябва да е вярно. Какво е противоположното на това, което искахме да докажем? Това е идеята, че реалните числа между 0 и 1 си кореспондират едно към едно с естествените числа. В частност, това означава, че можем да поставим различно естествено число към всяко реално число между 0 и 1. Да допуснем, че това е вярно. Ето една диаграма, която го онагледява. Всяко реално число между 0 и 1 може да бъде представено като безкрайна десетична дроб. Можеш да го запишеш като 0 цяло и безкрайна поредица от цифри. Допусни, че можем да означим с различно естествено число всяко реално число между 0 и 1. Ето един пример как може да стане това. С естественото число 0 означаваме това реално число, а с естественото число 1 означаваме това реално число и така нататък. Ето какво ще направим – ще използваме нашия списък, за да създадем едно зло число. И ето как ще го направим. Първо ще разгледаме диагонала, който е просто резултатът от писането на 0 цяло и после поредица цифри, които получаваме от този диагонал тук. И след като имаме този диагонал, дефинираме неговия зъл близнак. Злият близнак на диагонала е числото, което получаваш, когато напишеш 7, където в диагонала имахме 3. И пишеш 3, когато в диагонала имаме число, различно от 3. Ето как ще стане това. Тук имаме 3, пишем 7. Тук нямаме 3, пишем 3. Тук имаме 3, пишем 7. Нямаме 3, пишем 3. Нямаме 3, пишем 3. И така нататък. Наблюдението на Кантор е, че злият близнак не може да е в нашия списък. Защо не може да е в нашия списък? Не може да е първият член на нашия списък, понеже първият член в нашия списък има 3 в първата си позиция, но нашият зъл близнак има 7 в тази позиция. А вторият? Не може да е вторият, понеже вторият има нещо, различно от 3 във втората си позиция, а нашият зъл близнак има 3. И, общо казано, злият близнак не може да е в n-тата позиция, понеже каквото и да е числото в n-тата позиция, то има своята n-та цифра, а злият близнак ще има нещо друго. Ето какво се случи. Допуснахме противното, че можеш да означиш с различно естествено число всяко реално число между нула и 1. Но после открихме реално число, злото число, което не е в този списък. Това противоречи на допускането ни, че наистина сме означили с различно естествено число всяко реално число между 0 и 1. Тоест допускането ни трябва да е погрешно. И понеже това, което допуснахме, е противоположното на това, което искахме да докажем, следва, че това, което искахме да докажем, е вярно. Има повече реални числа между 0 и 1, отколкото има естествени числа. Дотук идентифицирахме два размера на безкрайности. Размерът на естествените числа, който знаем, че е толкова голям, колкото размера на естествените числа, плюс един допълнителен елемент, и точно толкова голям, колкото размера на толкова много копия на естествените числа, колкото естествени числа има. И идентифицирахме по-голям размер. Размерът на реалните числа между 0 и 1. Има ли други неща, които са с по-голям размер? Както се оказва, да. Има точно толкова реални числа, колкото са реалните числа между 0 и 1. И има точно толкова точки на правата, колкото реални числа има. И има точно толкова точки на една равнина, колкото реални числа има. И има точно толкова точки на един куб, колкото са реалните числа. И има точно толкова точки на един хиперкуб, колкото са реалните числа. Тоест безкрайността на реалните числа ли е най-голямата безкрайност, която съществува? Както се оказва, има безкрайно много размери безкрайност. Друго нещо, което Кантор доказал, е, че когато имаш множество, булеанът на множеството (или множеството от всички подмножества на оригиналното множество) е по-голям. Тоест булеанът на множеството на естествените числа е по-голям от множеството на естествените числа. И булеанът на булеана е по-голям от булеана. И булеанът на булеана на булеана е по-голям от това. И така до безкрайност.